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tre du cercle, foit mené le diametre GH, parallele à la corde que l'on coupera perpendiculairement & par la moitié, par la ligne AE; il s'enfuit que cette derniere ligne AE, paffera par le centre, & qu'elle coupera l'arc BAF, en deux parties égales au point A.

Par la conftruction l'Angle CB E, eft droit, puifqu'il eft formé par la tangente & un raion. De même, l'Angle AEG, eft droit, puifque le diametre étant parallele à la corde qui eft coupée perpendiculairement par la ligne A E, eft lui-même coupé perpendiculairement par cette ligne AE. Voila donc deux Angles droits CBE, AEG. D'ailleurs l'Angle FBE, eft alterne de l'Angle BEG, & par confequent il lui eft égal. Si donc l'on ôte les deux alternes, chacun de fon Angle droit, reftera d'un côté l'Angle du petit Segment CBF, égal à à l'Angle BEA. Or l'Angle BEA, aïant fon fommet en E, centre du cercle, a pour mefure l'arc BA, moitié de l'arc BAF. Donc l'Angle du petit Segment fon égal, a pour mefure la même moitié de l'arc BAF, foutenu par la corde.

COROLLAIRE.

Si plufieurs cercles aïant un feul point commun, ont une tangente commune, & que du point de contingence, l'on mene une corde jufques à la circonference du plus grand cercle, cette corde coupera dans tous les cercles, des arcs tous de pareil nombre de degrés, au nombre de degrés de l'arc du plus grand cercle.

Car ces trois cercles, par exemple, aïant pour leurs centres les points B, C, D, & fe touchant au point A; fi par ce point A, l'on mene la tangente

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AE, cette corde foutient dans le grand cercle, l'arc ELA; dans le moïen, fa por

tion HA, foutient l'arc HMA;

& dans le petit cercle fa portion

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IA, foutient l'arc INA. Or ces trois arcs font neceffairement égaux, puifque l'Angle EAF, An gle du petit Segment, n'eft pas different de l'Angle HAF, ni de l'Angle IAF, & que par la precedente Propofition, il a pour mefure la moitié de celui de ces trois arcs que l'on voudra choisir.

SECONDE PROPOSITION.

L'Angle dans le Segment, ou Angle infcript, à pour mefure la moitié de l'arc fur lequel il eft appuïé.

Il faut prouver que l'Angle BAC, a pour mefure la moitié de l'arc BFC. Par le point A, foit menée la D tangente D A E. Les trois Angles DAB, BAC,

E

A

G

CAE, pris enfem

ble, valent deux

B

F

Angles droits, fuivant les Définitions du Livre pre

cedent, c'est-à-dire, 180 degrés ou la demi-circonference. Or l'Angle DAB, par la precedente Propofition, vaut la moitié de l'arc AB, l'Angle EAC, vaut la moitié de l'arc AC, refte donc pour la va leur de l'Angle BAC, la moitié de l'arc B FC.

COROLLAIRE.

Si l'on prend le point A, pour centre d'un cercle, l'arc de ce cercle compris par les côtés de l'Angle BAC, fera la moitié de l'arc BFC; parce que l'arc de ce nouveau cercle, fera la mesure de l'Angle, & que l'autre arc fur lequel cet Angle eft appuïé, eft le double de fa mefure.

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Si du centre du cercle G, l'on mene deux lignes au point B, C, l'Angle BGC, fera double de l'Angle infcript BAC. C'eft ce qui s'exprime fouvent ainfi: L'Angle au centre eft double de l'Angle, en la circonference, quand ils font appuïés fur le même arc. Car l'Angle BGC, a pour mefure tout l'arc B FC, & l'Angle BAC, n'en a que la moitié.

III. COROLLAIRE.

L'Angle du petit Segment eft égal à l'Angle dans le grand Segment.

Car l'Angle du petit Segment CAD, a pour mefure la moitié de l'arc AHD, par la 1 Propofition de ce Livre, & cette même moitié eft la mefure de l'Angle infcript AED, par la précedente.

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IV. COROLLAIRE.

Tous les Angles dans un même Segment font égaux entr'eux, car ils ont tous la même mefure, qui eft la moitié de l'arc fur lequel ils font appuïés.

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A

B

L'Angle formé par une corde & par la partie d'une autre corde prolongée hors du cercle, a pour mesure la moitié des deux arcs foutenus par les deux cordes. Il faut prouver que l'Angle BAF, a pour mefure la moitié de l'arc EG A, plus la moitié de l'arc AH F. Soit par le point A, tirée la tangente DAC, l'Angle BAF, est égal aux deux Angles BAC, CAF. Or l'Angle BAC, est égal

E

H

F

l'Angle DAE, parce qu'il lui eft oppofé au fommet; & les deux Angles DAE, CAF, étant Angles du petit Segment, ont chacun pour méfure la moitié de leurs arcs. Donc l'Angle total B AF, a pour mesure la moitié des deux mêmes arcs EGA, AHF.

QUATRIEME PROPOSITION.

Tout Angle dont lé fommet eft entre le centre; & la circonference, a pour mesure la moitié de l'arc fur lequel il eft appuïé, plus la moitié de celui qui eft compris entre fes côtés prolongés.

Il faut démontrer que E l'Angle BAC, a pour mefu

re la moitié de l'arc B C, plus la moitié de l'arc DE; foit tirée la ligne E C.

L'Angle ACE, a pour mefure la moitié de l'arc ED, par la feconde Propofition de ce Livre. L'Angle

D

BEC, a pour mefure la moitié de l'arc BC, par la même raison. Or l'Angle BAC, eft exterieur à l'égard de ces deux Angles infcripts; donc il est égal à tous les deux, par la fixiéme Propofition du quatriéme Livre; donc il a pour mefure la moitié de l'arc BC, plus la moitié de l'arc D E.

CINQUIEME PROPOSITION

L'Angle qui a fon fommet hors du cercle, a pour mefure la moitié de l'arc concave, moins la moitie de l'arc convexe fur lequel il eft appuié.

D

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