foit plus

grand ou plus petit que le raion du premier cercle, & qui s'entrecoupent en un point, comme F. Par le point donné A, & par le point d'interfection F, foit menée la ligne doite AFG, je dis qu'elle est perpendiculaire à la ligne donnée B C.

Car par la construction, les deux lignes AD, AE, sont égales, puisqu'elles font raïons du même cercle; les deux lignes FD, FE, sont égales, puifqu'elles font raïons de deux cercles égaux: Done l'on a deux points, comme A, F, qui font chacun également éloignez des deux points D, E. Donc tous les points de la ligne AFG font chacun également éloignés des deux points D, E, puisque deux points déterminent la position d'une ligne. Donc cette ligne AFG, n'incline ni d'un côté ni d'autre. Ce que l'on appelle être perpendiculaire.

SECONDE PROPOSITION.

D'un point comme A, donné dans la ligne BAC,

élever une perpendiculaire.

qui se coupent en un point, comme D, par lequel & par le point donné A, soit menée la ligne AD; je dis qu'elle est perpendiculaire.

Car par la construction, le point A, est égale ment éloigné des points B, C. Or le point D, point d'interfection des deux cercles, est aussi également éloigné des mêmes points B, C, puisque les lignes BD, CD, sont supposées raïons de deux cercles égaux. On a donc deux points, sçavoir A, & D, chacun également éloigné des points B, C. Donc par ja définition la ligne AD, est perpendiculaire.

TROISIEME PROPOSITION.

Diviser une ligne donnée, comme AB, en deux parties égales.

Des deux points A, B, extremités de la ligne donnée, pris pour centres, foient décrits deux cercles égaux qui se coupent en deux A

E

B

points, comme C, D. Par les deux points d'interfectionsoit me

née la ligne CD, je dis qu'elle coupe la li

D

gne donnée au point E, en deux parties égales.

Car les deux cercles étant égaux, les quatre lignes CA, CB, DA, DB, qui en font raïons, doivent être égales, & par consequent les points C, D, également éloignés des points A, B: Donc tout autre point de la ligne CD, doit être également éloigné des points A, B: Donc le point E, lui-même est également éloigné des points A, B, extremités de la ligne, & par consequent la divise en deux parties égales.

On ne sçauroit s'imprimer trop fortement dans l'efprit, que ces trois Propositions sont principalement fondées sur la notion de la ligne droite, dont la position est totalement déterminée par deux points.

QUATRIÈME PROPOSITION.

D'un point donné comme A, hors d'une ligne comme BC, on ne peut faire tomber qu'une feule perpendiculaire sur la ligne donnée, & cette perpendiculaire est plus courte que toute autre ligne menée du point A, & terminée par la ligne donnée B C.

Soit la perpendiculaire AD, & foit menée du point A, à quelque point comme E, de la ligne donnée, la ligne AE, je dis que la ligne AD, peut B

seule être perpendiculaire,

& qu'elle eft neceffaire

ment plus courte que la li

gne AE, qui est oblique.

F

Soit prolongée la per

pendiculaire AD, jusqu'en F, en forte que DF soit égale à DA, & foient joints les points E, F, par la ligne FE.

Je dis, 10, que la ligne AE, ne peut être perpendiculaire fur la ligne BC.

Soient supposés les deux points BC, ou deux autres à discretion également éloignés du point A; le point D, par consequent sera à égale distance des mêmes points BC, puisque la ligne AD, est supposée perpendiculaire, il faudroit donc, pour que la ligne AE, fût aussi perpendiculaire, que son point A, étant également éloigné des points B, C, fon point E, fût auffi à égale distance des points B, C;

L

ce qui est manifestement impossible, puisqu'il est entre B& D, & que le point D, a été supposé luimême également éloigné des points B, C.

Je dis, 2°. que la ligne AD, est plus courte que la ligne AE. Car puisque la ligne AD, eft perpendiculaire sur B C, la ligne BD, sera aussi perpendiculaire sur la ligne AF. Or par la conftruction le point D, est également éloigné des points A, & F. Donc le point E, point de la perpendiculaire, est auffi à égale distance des mêmes points A, F. C'esta-dire que la ligne AE, est égale à la ligne E F. Or les lignes AE, EF, prises ensemble, font plus longues que AD, DF, prises ensemble, puisque AF, est une ligne droite, c'est-à-dire, la plus courte mefure entre les points A, F, donc AD, moitié de AF, est plus courte que AE, moitié de AEF Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE, ou confequence évidente de cette Propofition.

Il s'enfuit de cette Proposition que deux lignes droites, perpendiculaires sur une même ligne, ne peuvent jamais se rencontrer, quoique prolongées à l'infini; car si elles se rencontroient en un point, il seroit vrai de dire que de ce point de rencontre partiroient deux perpendiculaires à une même ligne. Ce que nous venons de démontrer impossible dans la precedente Proposition.

CINQUIEME PROPOSITION.

Les lignes obliques, partant du même point, font d'autant plus longues qu'elles font plus éloignées do la perpendiculaire.

(

Soit la ligne AD, perpendiculaire sur la ligne BC. Soient les obliques AE, AB, menées du point A, je dis que la ligne AB, est plus longue que la ligne AE. B Soit prolongée, A D, jusqu'en F, en forte que DF, soit égale à DA, & foient menées les lignes EF, BF.

F

C

Puisque AD, eft perpendiculaire fur BC, il faut que BD, soit perpendiculaire fur AF; eela étant, comme le point D, eft supposé également éloigné des points A, F, tout autre point de la perpendiculaire BD, sera à égale distance des mêmes points A, F; donc B A est égale à BF, comme EA, est égale à EF. Or ABF, contenant AEF, est plus grand que AEF, donc AB, moitié de ABF, est plus grande que AE, moitié de AEF.

SIXIEME PROPOSITION.

De trois choses qu'on peut comparer, sçavoir la perpendiculaire, l'oblique, & l'éloignement de perpendicule; fi deux sont égales, il s'enfuit que la troisiéme l'est aussi.

que AC. Car la ligne AD,

étant perpendiculaire fur la ligne BC, & le point D,