Il faut démontrer que l'Angle BAC, a pour mefure la moitié de l'arc BC, moins la moitié de l'arc ED; foit tirée la ligne B D. L'Angle BDC, Angle exterieur est égal aux deux Angles AB D, DA B. Or l'Angle ABD, a pour mefure la moitié de l'arc ED, par la feconde Propofition de ce Livre. Donc pour avoir la mesure de l'autre Angle, c'est-à-dire, de l'Angle BAD, ou BAC, il faut ôter la moitié de l'arc ED, de la moitié de l'arc BC, qui eft la me fure de l'Angle exterieur BDC. SIXIE'ME PROPOSITION. Si l'on prolonge le diamettre d'un cercle, & que fur ce diamettre prolongé, l'on mene plufieurs per pendiculaires, une li gne oblique menée de D B A tié de l'arc AG F. Car tous les autres formés par les autres perpendiculaires & l'oblique lui font égaux. Soit menée la tangente D AE; les lignes DAE, BC, font paralleles par conftruction; donc l'Angle ACB, eft alterne de l'Angle CAE, ou FAE. Ör l'Angle FAE, eft un Angle du petit Segment, qui a pour mesure la moitié de l'arc AGF; donc fon égal ou alterne ACB, à la même méfure. SEPTIEME PROPOSITION. L'Angle formé par deux tangentes; sé nomme l'Angle circonfcript au cercle, & a pour méfure la demi-circonference, moins l'arc compris entre les deux tangentes. Il faut prouver que l'Angle BAC, a pour mefure la demi-circonferen ce, moins l'are entier BDC. Les trois Angles BAC, CBA, BCA, pris enfemble, valent deux Angles droits ou la demicirconference, par A D Ja 5 Propofition du IV Livre. Or FAngle qui a fon fommet en B, eft un Angle du petit Segment, auffebien que l'Angle qui a fon fommet en C: Ils ont chacun pour méfure la moitié de l'are B DC; ils l'ont donc tout entier à eux deux pour leur mesure refte donc pour le troifiéme Angle, qui eft l'Angle cir. confcript, le nombre de degrés, qui avec l'are BDC, acheve la demi-circonference; donc fi l'on ôté l'arc BDC, de la demi-circonference, le reste sera la mefure de l'Angle circonfcript BAC. SIXIEME LIVRE. Des Proportions. NProportions, parce qu'elles fuppofent la con Ous n'avons pû jufqu'à prefent parler des noiffance des Lignes Droites, Perpendiculaires, Obliques, Paralleles, & celles des Angles. DEFINITIONS. Quand on compare deux grandeurs d'un même genre, comme deux nombres, deux lignes, deux furfaces, deux corps; le rapport de l'une de ces grandeurs à l'autre, s'appelle Raifon. Par exemple, le rap port de 2 à 4, ou de 8 à 11, eft une Raifon. Le premier terme de la Raifon fe nomme l'Antecedent; le second se nomme le Confequent. Ainfi dans la Raifón de 8 à 11, 8 eft l'Antecedent, & 11 le Confequent. Cette comparaifon fe peut faire en deux mapieres, Par exemple, étant donnés les nombres 9,3.. Si je confidere combien de fois l'un eft content, dans l'autre, cela fe nomme rapport geometrique. Si je confidere feulement l'excès de l'un fur l'autre, alors on nomme ce rapport, rapport arithmetique, Mais il faut fçavoir que lorsqu'on parle en Geometrie d'une Raifon, fans ajoûter de quelle nature elle eft, c'eft toûjours de la Raifon Geometrique qu'on veut parler. Il faut ici rappeller quelques axiomes que nous avons pofés en commençant. Un tout fe peut divifer en plufieurs parties égales ou inégales. Un tout eft égal à toutes fes parties prifes enfemble Si une partie prife un certain nombe de fois, eft égale au tout, elle fe nomme partie Aliquotte. Ainfi 2 eft partie aliquotte de 30, parce que 2 eft une partie, qui, prife quinze fois, eft égale à fon tout, qui eft 30. 5 eft une partie Aliquotte de 30, parce que prife fix fois, elle est égale à fon tout; mais 7, qui, pris un certain nombre de fois, est toûjours moindre ou plus grand que le tout 30, s'appelle partie Aliquante de 30. En un mot, partie Aliquotte eft celle qui mesure exactement fon tout. Partie Aliquante eft celle qui ne le mesure point exactement. Aliquottes pareilles de deux grandeurs, font celles dont chacune eft autant de fois contenue dans fon tout, que l'autre l'eft dans le fien. Ainfi 2 & 4 font Aliquottes pareilles de 6 & de 12; parce que comme 2 eft contenu trois fois dans le tout 6, de même 4 eft contenu trois fois dans le tout 12. Il eft donc clair que ce qu'on appelle Raifon, eft la maniere dont l'Antecedent eft contenu ou contient le Confequent. Par exemple, la Raison de 2 à 4, n'eft autre chofe, que la maniere dont 2 eft contenu dans 4, c'eft-à-dire deux fois; de même la Raifon de 12 à 4, n'eft autre chofe que la maniere dont 12 contient 4, c'eft-à-dire trois fois. Il est évident que l'Antecedent eft quelquefois partie Aliquante de fon Confequent, comme dans la Raifon de 8 à 11, mais cela n'empêche pas qu'on ne puiffe remarquer la maniere dont 8 eft contenu dans 11; c'est-à-dire remarquer qu'il y eft contenu une fois, avec un refte eft 3,& cette confideration nous apprend quelle eft la Raifon de 8 à 11. que Il fuit encore de ce que nous venons d'expliquer, que fi l'on multiplie l'Antecedent & le Confequent d'une même Raifon par une même grandeur, la Raifon demeure toûjours la même. Par exemple, étant donnée la Raifon de 3 à 6; fi l'on multiplie 3 & 6 par un nombre quelconque, comme 4, il viendra 12 & 24, qui eft une Raifon pereille à celle de 3 à 6, Tous les nombres ont une commune mesure qui eft l'unité; ou fi l'on veut, l'unité eft partie Aliquotte de tout nombre. Le rapport qui eft entre deux nombres, s'appelle Raifon de nombre à nombre. Il y a des lignes qui ont entre elles le même rapport que de certains nombres; par exemple, fi l'on fup, pofe qu'une ligne foit le tiers d'une autre. La plus petite fera à l'égard de la plus grande, comme i eft 3; & pour lors, on dira que ces deux lignes font commenfurables; c'eft-à-dire, qu'elles ont une commune mefure, ou bien qu'elles font entre elles comme nombre à nombre. Mais on verra dans la fuite, que quoique deux certaines lignes aient chacune une infinité d'Aliquottes, jamais telle Aliquotte de l'une que l'on voudra choifir, ne pourra être l'Aliquotte de l'autre, & pour lors ces deux lignes fe nomment incommenfurables. L'on dit que leur Raifon eft fourde, ou Irrationnelle, ou que ce n'eft pas une Raifon de nombre à nom, bre; parce qu'en effet, il eft impoffible de trouver deux nombres qui aïent entre eux même rapport que celui de ces deux lignes. Non feulement l'on peut comparer deux grandeurs entre elles; l'on peut comparer deux Raifons: & lorfque les Raifons que l'on compare font égales en tre elles, cela s'appelle Proportion. Par exemple, |