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fi l'on compare la Raison de 2 à 4, avec la Raison de 6 à 12, on voit clairement que ces deux Raifons font égales; car de même que 2 eft la moitié de 4, ainfi 6 eft la moitié de 12, & cela se marque ainfi 2,4::6, 12. C'eft-à-dire deux eft à quatre, comme fix eft à douze.

En eet exemple, 2 s'appelle Antecedent de la premiere Raifon; 4 s'appelle Confequent de la premiere Raifon. 6 eft l'Antecedent de la feconde Raifon; 12 eft le Confequent de la feconde Raifon. 2 & 12 s'appellent les Extrêmes de la Proportion; 4 & 6 s'appellent les Moïens; mais il faut remarquer qu'un même terme peut être le Confequent de la premiere Raifon, & l'Antecedent de la feconde; & pour lors il s'appelle Moien Proportionnel, comme en l'exemple qui fuit. 2 eft à 4, comme 4 eft à 8; cela se marque ainfi : 2, 4, 8 pour abreger.

Que fi l'on comparoit deux Raifons arithmetiques, comme par exemple, la Raison de 2 à 5, avec la Raifon de 8 à 11, alors parce que le nombre 5 furpaffe le nombre 2 par trois unités, comme le nombre II furpaffe le nombre 8, ces deux Raisons arithmetiques feroient dites égales; & ces deux Raisons égales feroient une Proportion Arithmetique. Mais tout ce qui fuit regarde la Proportion Geometrique.

,

Comme la définition de la Proportion eft importanil faut fe la rendre familere par une autre expreffion. L'on connoît qu'il y a Proportion en quatre termes, quand les Aliquottes pareilles des Antecedens font contenuës autant de fois dans leurs Confequents; foient les quatre termes

9, 27: 18, 54.

3

6

3 eft le tiers de l'Antecedent 9, comme 6 eft le tiers de l'Antecedent 18. Ainfi 3 & 6 font Aliquottes pareilles des deux Antecedens. Si donc 3 eft au

tant de fois contenu dans le Confequent 27, que dans le Confequent 54; il y aura Proportion entre ces quatre termes. Or 3 eft neuf fois dans 27, comme 6 eft neuf fois dans 54. Ainfi les quatre termes font Proportionels.

Que fi les Aliquottes pareilles des Antecedens ne mefurent pas exactement leurs Confequents; c'est-àdire, fi elles y font contenues un certain nombre de fois avec un refte, pour qu'il y ait Proportion, il faut que les deux reftes foient entre eux comme les Aliquottes pareilles. Par exemple, foit la Proportion

9, 20::27, 60.

,

Soit 3 l'Aliquotte de l'Antecedent 9; foit 9 l'Aliquotte de l'Antecedent 27. Elles font Aliquottes pareilles, parce que 3 eft le tiers de l'Antecedent 9, comme 9 eft le tiers de l'Antecedent 27. Mais 3 ne mesure point exactement le Confequent 20, car il y eft contenu fix fois avec le refte 2. Afin donc qu'il y ait Proportion, il faut que 9 foit contenu fix fois dans le Confequent 60, avec un refte qui foit 6. Or il eft vifible que 2, premier refte du Confequent 20, eft à 6, refte du Confequent 60, comme 3 eft à 9, c'est-à-dire, comme les Aliquottes pareilles des Antecedens; & par confequent la Proportion fubfifte entre les quatre termes 9, 20:27, 60.

Si au lieu de prendre pour les Aliquottes pareilles des Antecedens, les deux nombres 3, 9, l'on prend F, 3; il arrivera la même chofe: car 1 eft contenu neuf fois dans l'Antecedent 9; 3 eft contenu neuf fois dans l'Antecedent 27, donc 1, 3 font Aliquot,3 tes pareilles des Antecedens. Or 1 eft contenu vingt fois dans 20, Confequent de la premiere Raifon, & 3 eft contenu vingt fois dans 60, Confequent de la feconde Raifon; donc les quatre termes font Proportionels.

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Mais il faut un peu s'accoûtumer à confiderer la Proportion par les Aliquottes pareilles, qui laiffent des reftes dans les Confequents; parce qu'autrement on ne pourroit fe former une idée bien diftincte de la Proportion qui fe trouve entre quatre grandeurs incommenfurables.

Car fi deux lignes font incommenfurables entre elles, jamais l'Aliquotte de l'une ne pourra être Aliquotte de l'autre. Il ne laiffe pas d'y avoir entre ces deux lignes un certain rapport; & fi deux autres lignes ont entre elles le même rapport, il y aura Proportion, parce que les Aliquottes pareilles des Antecedens, feront également contenues dans les Confequents, avec un refte de part & d'autre, & que ces reftes feront entre eux comme les Aliquottes pareilles des Antecedens.

En un mot, Proportion eft la comparaison de deux Raifons égales, foit que ces Raifons foient de nombre à nombre, foit qu'elles foient fourdes.

La plus importante proprieté de cette Proportion, qu'on appelle par excellence Proportion Geometrique, c'eft que le produit des Extrêmes eft toûjours égal au produit des Moïens ; & pour le démontrer d'une manierere univerfelle, je fuppofe,

1°. Que toute grandeur fe puiffe exprimer ou defigner par une lettre ainfi A, B :: C, D, veut dire, grandeur que j'appelle A, eft à celle que j'appelle B, comme la grandeur que j'appelle C, eft à celle que j'appelle D, foit que ces grandeurs foient des nombres, ou que ce foient des lignes.

Ce figne veut dire plus.

Ce figne

-

- fignifie moins.

Deux caracteres placés fans virgule l'un auprès de l'autre, comme AB, fignifient la grandeur A, multipliée par la grandeur B, ou le produit d'A par B

ABCD, fignifie le produit d'A, par B, eft égal au produit de C, par D.

Cela fuppofé. Soit une Proportion Geometrique A, B:: C, D. Il faut démontrer que le produit des Extrêmes AD, eft égal au produit des Moïens BC, c'eft-à-dire, AD=BC.

Souvenons-nous d'abord que deux grandeurs font égales, quand elles font en même Raison avec une même grandeur. Par exemple, fi une ligne quelconque eft le tiers ou le quart d'une ligne que j'appellerai Z, toute autre ligne qui fera le tiers ou le quart de Z, fera égale à la premiere.

Il faut fe fouvenir en fecond lieu, que deux Raifons égales à une même Raifon, font égales entre elles. Cela eft évident par foi-même.

De plus, il est évident que AD,BD:: A, B. C'eft-à-dire, que le produit de A, par D, eft au produit de B, par D, comme A, eft à B. Parce que la premiere de ces deux Raisons AD, BD, n'eft autre chofe que la Raifon A, B, multipliée par une même grandeur, qui eft D. Nous l'avons expliqué cideffus en nombres.

Suivant le même raifonnement, CB, BD :: C, D, parce que la Raifon de CB, à BD, n'eft autre chofe que la Raifon de C, à D, multipliée par la même grandeur, qui eft B.

Il eft donc démontré que AD, BD: A, B. Il est encore démontré que CB, BD :: C, D. Voila donc quatre Raifons, qui font neceffairement égales; car la premiere vient d'être démontrée égale à la feconde, & la troifiéme égale à la quatriéme; or par la fuppofition, la feconde & la quatrième font égales, puifqu'elles conftituent la Proportion A, BC, D. Donc la premiere Raifon, AD, BD, eft auffi égale à la troifiéme Raifon CB, BD,

& ces deux Raifons font une nonvelle Proportion AD, BD:: CB, BD. 1

Dans cette derniere Proportion, les deux Confe quents font égaux, ou fi vous voulés font la même grandeur B D; donc les deux Antecedens AD, CB, qui ont le même rapport avec cette même grandeur BD, font neceffairement égaux; c'est-à-dire, A D

BC, ou CB, ce qui fignifie A, multiplié par D, eft égal à B, multiplié par C, ou C, multiplié par B, ce qui eft la même chofe; donc le produit des Extrêmes d'une Proportion eft toûjours égal au pro

duit des Moïens.

AVERTISSEMENT.

étoit.

Pour encourager ceux qui commencent, & leur faire connoître, par un exemple illuflre, de quoi un bon esprit eft capable, quand il veut fe rendre attentif, l'on croit devoir rapporter ici une merveille, dont M. de Malezien eft témoin. Madame la Ducheffe du Maine, n'aïant pas encore feize ans accomplis, avoit déja un goût surprenant pour les Sciences & les Belles Lettres. Elle fe faifoit entretenir tous les jours pendant deux heures par M. de Malezieu, & l'engageoit même à aller de deux jours l'un, la trouver à Marly, quand la Cour Dans ces premiers commencemens, & pendant l'un de ces voïages, elle voulut apprendre l'Arithmetique. La Regle de Trois la frappa, elle en demanda le fondement. Cela engagea M. de Malezieu à lui dire que c'étoit une fuite de la proprieté de ce qu'on appelle Proportion Geometrique, dont il lui donna fimplement un exemple fur les quatre nombres fuivans, 3, 4 :: 6, 8, en lui ajoûtant que lorfque quatre nombres quelconqnes avoient entre eux ce rapport, le produit des Extrêmes étoit toû jours égal au produit des Moïens. Cette explication redoubla la curiofité de la Princeffe. Elle demanda la

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