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Mais il faut un peu s'accoûtumer à considerer la Proportion par les Aliquottes pareilles, qui laissent des restes dans les Consequents; parce qu'autrement on ne pourroit se former une idée bien distincte de la Proportion qui se trouve entre quatre grandeurs incommensurables.

Car li deux lignes sont incommensurables entre elles , jamais l’Aliquotte de l'une ne pourra être Aliquotte de l'autre. Il ne laisse pas d'y avoir entre ces deux lignes un certain rapport; & fi deux autres lignes ont entre elles le même rapport; il y aura Proportion, parce que les Aliquottes pareilles des Antecedens, seront également contenuës dans les Consequents, avec un reste de part & d'autre, & que ces restes seront entre eux comme les Aliquottes pareilles des Antecedens.

En un mot, Proportion est la comparaison de deux Raisons égales , soit que ces Raisons soient de nombre à nombre, foit qu'elles soient fourdes.

La plus importante proprieté de cette Proportion, qu'on appelle par excellence Proportion Geometrique, c'est que le produit des Extrêmes est toûjours égal au produit des Moïens; & pour le démontrer d'une manierere universelle, je suppose ,

I'. Que toute grandeur se puisse exprimer ou designer par une lettre ainsi A, B::C, D, veut dire, la grandeur que j'appelle A, est à celle que j'appelle -B, comme la grandeur que j'appelle C, eft à celle que j'appelle D, soit que ces grandeurs soient des nombres, ou que ce soient des lignes. Ce signe + veut dire plus.

signifie moins. Deux caracteres placés sans virgule l'un auprès de l'autre, comme AB, signifient la grandeur A,

mul-tipliée par la grandeur B, ou le produit d' A par B.

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Ce ligne

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AB=CD, signifie le produit d'A, par B, eft égal au produit de C, par D.

Cela fupposé. Soit une Proportion Geometrique A, B::C, D. Il faut démontrer que le produit des Extrêmes AD, est égal au produit des Moiens BC, c'est-à-dire , AD=BC.

Souvenons-nous d'abord que deux grandeurs sont égales , quand elles sont en même Raison avec une même grandeur. Par exemple , si une ligne quelconque est le tiers ou le quart d'une ligne que j'appellerai Z, toute autre ligne qui sera le tiers ou le quart de z, sera égale à la premiere.

Il faut se souvenir en second lieu , que deux Raisons égales à une même Raison, font égales entre elles. Cela est évident par soi-même.

De plus, il est évident que AD,BD:: A, B. C'est-à-dire , que le produit de A, par D, est au produit de B, par D, comme A, eft à B. Parce que la premiere de ces deux Raisons AD, BD, n'est autre chose

que

la Raison A, B, multipliée par une même grandeur, qui est D. Nous l'avons expliqué cidessus en nombres.

Suivant le même raisonnement, CB,BD::C, D, parce que la Raison de CB , à BD, n'est autre chose que la Raison de c, à D, multipliée par la même grandeur , qui est B. Il est donc démontré

que AD, BD:: 4, B. Il est encore démontré que CB, BD :; C, D.

Vọilą donc quatre Raisons, qui sont necessairement égales ; car la premiere vient d'être démontrée égale à la seconde , & la troisiéme égale à la quatriéme; or par la supposition, la seconde & la quatrieme font égales, puisqu'elles constituent la Proportion A, B:: C, D. Donc la premiere Raison, AD, 3D, eft auffi égale à la troisiéme Raison CB, BD,

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& ces deux Raisons font une nonvelle Proportion HD,BD :: CB, BD.,

Dans cette derniere Proportion, les deux Confequents sont égaux, ou si vous voulés font la même grandeur BD; donc les deux Antecedens AD,CB, qui ont le même rapport avec cette même grandeur BD, sont nécessairement égaux ; c'est-à-dire, AD

BC, ou CB, ce qui signifie A, multiplié par D, est égal à B, multiplié par C, ou C, multiplié par B, ce qui est la même chose ; donc le produit des Extrêmes d'une Proportion est toûjours égal au produit des Moïens.

AVERTISSEMENT. Pour encourager ceux qui commencent, & leur faire connoître , par un exemple illuflre, de quoi un bon esprit eft capable , quand il veut se rendre attentif, l'on croit devoir rapporter ici une merveille, dont M. de Malezien eft témoin. Madame la Ducheffe du Maine , n'aïant pas encore seize ans accomplis , avoit déja un goût surprenant pour les Sciences de les Belles Lettres. Elle se faisoit entretenir tous les jours pendant deux heures par M. de Malezieu, & l'engageoit même à aller de deux jours l'un, la trouver à Marly, quand la Cour étoit. Dans ces premiers commencemens, do pendant l'un de ces voiages, elle voulut apprendre l' Arithmetique. La Regle de Trois la frappa, elle en demanda le fondement. Cela engagea M. de Malezieu à lui dire que c'étoit une fuite de la proprieté de ce qu'on appelle Proportion Geomețrique , dont il lui donna simplement un exemple fur les quatre nombres fuivans , 3, 4:: 6, 8, en lui ajo4tant que lorsque quatre nombres quelconqnes avoient entre eux ce rapport, le produit des Extrêmes étoit tokjours égal au produịt des Moiens. Cette explication redoubla la curiosité de la Princesse. Elle demanda la

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raison de cette proprieté : M. de Malezieu lui répondit qu'il n'y falloit pas songer, e que cette démonstrations étoit la suite de plusieurs principes dont elle n'avoit jamais oči parler , eo qui viendroient à leur tour. Mais il fut bien surpris de recevoir le lendemain matin un Billet de Madame la Duchesse du Maine , qui l'exhortoit à venir sur le champ, pour examiner avec elle, le les reflexions qu'elle avoit faites pendant la nuit sur cette merveilleuse proprieté, pouvoient être de quelque usage. Il partit ansi-tôt , & fut bien paié de son vocage, par le plaisir qu'il eut de voir que cette jeune Princesse avoit parfaitement démêlé tout le fond de la démonstration, e l'avoit mis dans une évidence plus parfaite que tout ce qu'il avoit jamais sur cettre matiere. Voici précis sément ce qu'elle dit à M. de Malezieu.

Je confidere les quatre nombres 2,4,3,6, qui font en Proportion, parce que le premier est la moitié du second, comme le troisiéme eft la moitié du quatriéme; ego je veux trouver pourquoi le produit de 2 par 6, est égal All produit de 4 par 3.

Pour cela , je vois d'abord que li je multiplie 2 par 6, ce produit, qni est le produit des Extrêmes , doit être du produit de z. par 3 ; parce que 6 eft double

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de 3:

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Mais fi au lieu de prendre ce produit de 2 par 3 , 08 3 par. 2, qui n'est que la moitié du produit des Extrêmes, je m'ayise de prendre le produit de 3 par. 4; il faudra bien que ce produit de 3 par 4, soit double du produit de 3 par 2 , puisque 4 eft le double de 2, de même que o est le double de 3 ; donc le produit de 3 par 4, étant double du produit de 3 par 2 , qui n'est que la moitié du produit des Extrêmes, ce produit de 3 par 4, fera necessairement égal au produit des Extrêmes, c'està-dire que le produit des Extrémes sera égal au produir des. Możense

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est à 2,

ou

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ou

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Pour faire voir que cette admirable démonftration trouvée par Madame la Ducheffe du Maine , ne laisse rien à desirer , & qu'elle revient à la démonstration generale que nous avons donnée par lettres, il n'y a qu'à nommer les quatre nombres qu'elle ayoit choisis, & suivre la démonstration.

A B :: C D

2,4 :: 3,6
2 multiplié par 6, est à 2 , multiplié par 3, comme
6
6 est à 3, ou ADAC::D, C.

3 multiplié par 4, eft à 3 multiplié par 2, comme
4

CB, CA::B, A.
Or par la supposition, 4 est à 2 , comme 6 est à 3;

B, A::D, C.
Donc 2 multiplié par 6, eft à 2 multiplié par 3,
comme 3 multiplié par 4, à 2 multiplié par 3, ou

AD, AC, ou CA::CB, CA.
Donc 2 multiplié par 6, égal à 3 , multiplié par 4,

AD CD.
Il suit de cette Proposition , que si quatre termes
quelconques sont tels, que le produit des Extrêmes
soit égal au produit des Moiens, ces quatre termes
seront proportionels; puisque ces deux produits,
comine AD, BC, auront necessairement même rap-
port à une grandeur qui sera BD, & en remon-
tant par degrés, la démonstration précédente, on
trouvera que

A, B:: C, D.
Cela étant , quand une proportion me sera donnée,
je puis y faire tels changemens qu'il me plaira fans la
détruire, toutes les fois que je conserverai l'égalité
du produit des Moïens & des Extrêmes.

Ainsi, li A, B ::C, D, il s'ensuivra que A, C
:: B, D, parce que les deux produits demeurent
necessairement les mêmes. Il a plû aux Geometres
d'appeller ce changement Alternando.

ou

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