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raifon de cette proprieté: M. de Malezieu lui répondit qu'il n'y falloit pas fonger, & que cette demonstration étoit la fuite de plufieurs principes dont elle n'avoit jamais oui parler, & qui viendroient à leur tour. Mais il fut bien furpris de recevoir le lendemain matin un Billet de Madame la Ducheffe du Maine, qui l'exhortoit à venir fur le champ, pour examiner avec elle, fi les reflexions qu'elle avoit faites pendant la nuit fur cette merveilleufe proprieté, pouvoient être de quelque ufage. Il partit auffi-tôt, & fut bien païé de fon voiage, par le plaifir qu'il eut de voir que cette jeune Princesse avoit parfaitement démêlé tout le fond de la démonstration, &l'avoit mis dans une évidence plus parfaite que tout ce qu'il avoit jamais vû fur cettre matiere. Voici précifément ce qu'elle dit à M. de Malezieu.

Je confidere les quatre nombres 2, 4, 3, 6, qui font en Proportion, parce que le premier eft la moitié du fecond, comme le troifiéme eft la moitié du quatrieme; & je veux trouver pourquoi le produit de 2 par 6, eft égal -au produit de 4 par 3.

Pour cela, je vois d'abord que fi je multiplie 2 par 6, ce produit, qni eft le produit des Extrêmes, doit être du produit de 2 par 3 parce que 6 eft double

de 3.

Mais fi au lieu de prendre ce produit de 2 par 3, ou 3 par 2, qui n'est que la moitié du produit des Extrêmes, je m'avife de prendre le produit de 3 par 4; il faudra bien que ce produit de 3 par 4, foit double du produit de 3 par 2, puifque 4 eft le double de 2, de même que 6 eft le double de 3; donc le produit de 3 par

4,

étant double du produit de 3 par 2, qui n'est que la moitié du produit des Extrêmes, ce produit de 3 par 4, fera neceffairement égal au produit des Extrêmes, c'eftà-dire que le produit des Extrêmes fera égal au produis des Moiens,

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Pour faire voir que cette admirable démonftration trouvée par Madame la Ducheffe du Maine, ne laiffe rien à defirer, & qu'elle revient à la démonftration generale que nous avons donnée par lettres, il n'y a qu'à nommer les quatre nombres qu'elle avoit choifis, & fuivre la démonftration.

A B C D

2,43,6

2 multiplié par 6, eft à 2, multiplié par 3, comme 6 eft à 3, ou AD, AC::D, C.

4

ou

3 multiplié par 4, eft à 3 multiplié par 2, comme
eft à 2, ou CB, CA:: B, A.

Or par la fuppofition, 4 eft à 2, comme 6 eft à 37
B, A:: D, C.

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Donc 2 multiplié par 6, eft à 2 multiplié par 3, comme 3 multiplié par 4, à 2 multiplié par 3, ou AD, AC, ou CA:: CB, CA.

Ou

Donc 2 multiplié par 6, égal à 3, multiplié par 4,

AD CD.

Il fuit de cette Propofition, que fi quatre termes quelconques font tels, que le produit des Extrêmes foit égal au produit des Moïens, ces quatre termes feront proportionels; puifque ces deux produits, comme AD, BC, auront neceffairement même rapport à une grandeur qui fera BD, & en remontant par degrés, la démonstration précédente, on trouvera que A, B:: C, D.

Cela étant, quand une proportion me fera donnée, je puis y faire tels changemens qu'il me plaira fans la détruire, toutes les fois que je conferverai l'égalité du produit des Moïens & des Extrêmes.

Ainfi, fiA, B:: C, D, il s'enfuivra que A, C :: B, D, parce que les deux produits demeurent neceffairement les mêmes. Il a plû aux Geometres d'appeller ce changement Alternando.

Maintenant fi l'on ajoûte le Confequent de la premiere Raifon à fon Antecedent, pour comparer cette fomme au Confequent, & qu'on fasse la même chofe à l'égard de la feconde Raifon. C'est-à-dire, fi aiant A, B :: C, D, l'on dit A+ B, B:: CD, D, il eft aifé de voir que le produit des Extrêmes fera égal au produit des Moiens; car le produit des Extrêmes eft AD + BD; le produit des Moïens eft CB+ BD. Or il eft vifible que AD + BD CD + BD, puifque AD, eft égal à BC, à caufe de la premiere Proportion. Cela s'appelle Componendo. En nombres, fi 2,4:3, 6, je dis que 244,4:36, 6. C'eft-à-dire, 6 eft 4, comme 9 est à 6.

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Que fi au lieu d'ajoûter les Confequents à leurs Antecedens, pour en faire la comparaison avec les Confequents, on les ôté des Antecedens, c'est-àdire, fi aiant A, B :: C, D, l'on dit AB, B::C-D, D. L'on prouvera par le même raifonnement, que le produit des Extrêmes fera égal au produit des Moïens, & qu'ainfi la Proportion ne fera point bleffée. Cela s'appelle Dividendo. En nombres, fi 9,4 :: 27, 12, je dis que 94, 4: 27-12, 12. C'est-à-dire, 5 eft à 4, comme 15

eft à 12.

Voila les changemens effentiels & les plus ordinaires qu'on fait dans la Proportion, car à proprement parler, ce n'eft point en faire un, lorfqu'aiant la Proportion 2, 4:: 3,6, l'on dit 6, 3:4, 2, 'puifqu'on ne fait, que prendre les termes à rebours, qu'i's gardent le même ordre entre eux; & qu'ainfi il n'y peut avoir aucun changement, cela s'appelle pourtant Invertendo.

De même, fi l'on dit 3, 6 :: 2, 4, ce n'eft pas un vrai changement, puifqu'on fait fimplement

changer de place à deux Raifons égales pour les comparer. Cela s'appelle Permutando.

Il faut parler maintenant des Raisons compofées.

Lorfqu'aïant deux Raifons, comme A, B l'une; & C, D l'autre; l'on multiplie les deux Antecedens P'un par l'autre, & les deux Confequents auffi l'un par l'autre ; ces deux produits font une nouvelle Raifon, comme AC, BD; c'eft-à-dire, la grandeur A, multipliée par C, comparée avec la grandeur B, multipliée par D. Cette nouvelle Raifon eft dite compofée de la Raison de A, à B, de la Raison de C, à D. Exemple en nombres.

Premiere Raifon,

Secondé Raifon,

2,4. 9,15.

2, multiplié par 9, donne 18; 4, multiplié par 15, donne 60. La Raifon de 18 à 60, eft dite, Raifon composée de la Raifon de 2 à 4, & de la Railon de 9 à 15.

Si les deux Raifons compofantes font égales, c'eftà-dire, fi elles conftituent une Proportion; la Raifon compofée eft dite, Raifon doublée de la premiere Raison. Par exemple, 2, 4:: 6, 12. Je multiplie les deux Antecedens, vient 12, & les deux Confequents, vient 48; la Raifon de 12 à 48, qui eft la Raifon compofée de ces denx Raifons égales, eft dite, Raifon doublée de la Raifon de 2 à 4, ou de la Raifon de 6 à rz, qui eft fon égale,

Il ne faut pas confondre la Raifon double avec la Raifon doublée: car par exemple, on dit que 4 eft en Raifon double de 2; c'eft-à-dire, que 4 eft double de 2, mais n'est pas en Raison doublée. On doit s'imprimer fortement toutes ces définitions dans l'efprit.

Il faut fur tout bien remarquer qu'une même Rai

fon peut être exprimée d'une infinité de manieres. Par exemple,

A

AD

B.

BD.

ADC, BDC.

C'est toûjours la même Raifon A, B, puifque la Raifon du produit AD, au produit BD, n'eft autre chofe que la Raifon A, B, multipliée par la même grandeur D; & de même la Raifon ADC, BDC, n'eft autre chofe que la Raifon A, B, multipliée par le même produit ou même grandeur DC;

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2,

8,

32, 100,

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2.

4.

16.

64.

200.

C'eft toûjours la même Raifon, étant visible que l'Antecedent eft toûjours la moitié du Confequent dans ce dernier exemple, ou fi vous voulés, la feconde Raifon 2, 4, n'eft autre chofe que la premiere Raifon 1, 2, multipliée par une même grandeur, qui eft 2 ; & de même la derniere Raifon 100, 200, n'eft autre chofe que la premiere Raison I tipliée par une même grandeur, qui eft 100.

2, mul

Les plus petits termes qui expriment une Raison, ou fi vous voulés, les plus fimples termes d'une Raifon, s'appellent les Expofans de la Raifon. Par exemple, dans la Raifon ci-deffus exprimée en lettres, A, B, en font les Expofans, & dans l'exemple en nombres, 1, 2, en font les Expofans, & le feront toûjours, par quelque uombre que l'on puiffe multiplier 1, 2, car la Raifon de 10000, 20000, aura toûjours 1, 2, pour Expofans, & fera toûjours la Raifon de 1 à 2.

On tire de là une confequence fort importante pour la fuite ; fçavoir, que la Raison doublée d'une Rai

fon

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