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fon de nombre à nombre, a neceffairement pour Expofans des nombres quarrés.

Ĉar aïant une Raifon de nombre à nombre, com me 3, 6, fi j'en veux avoir la Raifon doublée, il faut que je mette à côté de celle-là, une Raison qui lui foit égale. Par exemple, 3,6:4, 8.

Puis multipliant les deux Antecedens l'un par l'autre, & les deux Confequents pareillement, pour avoir la Raifon doublée, il viendra la Raison 12, 48.

Réduifant cette Raifon 12, 48, aux moindres termes, qui font 1, 4, & qui en font par confequent les Expofans, on voit que ce font deux nombres quarrés, cela ne peut jamais manquer d'arriver, dont voici la raifon.

Je difpofe les deux Raisons égales en Proportion, 3,6:14, 8. Je les réduits aux plus fimples termes, 1, 2::1,2. En cette derniere Proportion, il eft évident que les deux Antecedens font le même nombre, & les deux Confequents auffi le même nombre. Si donc je multiplie les deux Antecedens l'un par l'autre, & les deux Confequents l'un par l'autre, pour avoir la Raifon doublée, j'aurai neceffairement deux nombres quarrés, puifque chacun de ces nombres fera le produit d'un nombre multiplié par foimême.

De cette confequence, j'en tire une autre, qui eft le fondement des Incommenfurables, comme nous le verrons dans la fuite; fçavoir, que

Si l'on me donne une Raifon doublée, qui n'ait pas pour Expofans des nombres quarrés, la Raifon dont elle est doublée, n'est pas Raison de nombre à nombre.

Avant que de quitter ces réflexions générales fur les Proportions, il eft bon de confiderer que ce que

E

nous avons dit ci-deffus de l'égalité du produit des Extrêmes, & de celui des Moiens, eft le fondement de ce que les Arithmeticiens appellent la Regle de Trois. Ĉar dans cette Regle, il ne s'agit que de trouver le quatriéme Proportionnel à trois nombres donnés. Par exemple, j'ai 2,4::6,

Je veux trouver un quatriéme nombre qui finiffe la Proportion; c'est-à-dire, auquel 6, foit en même Raifon que 2 eft à 4; il est bien certain que ce qua triéme nombre, quel qu'il puiffe être, étant multiplié par le premier, me donnera un produit égal au produit de 4 par 6, puifque le premier nombre & lui inconnu, font les Extrêmes d'une Proportion, dont 4 & 6, font les Moïens; ainfi multipliant 4 par 6, il me viendra 24, & je fuis für que 24, eft auffi le produit de mon nombre inconnu par 2 ; donc fi je divife 24 par 2, il me viendra necessairement le nombre inconnu 12 que je cherchois.

2,4::6, 12.

Au refte, il ne faut pas laiffer ignorer la proprieté de la Proportion Arithmetique dont on peut avoir quelquefois à faire. 4, eft à 7, comme 9 est à 12; c'est-à-dire, 4 eft furpaffé de trois unités par 7, comme 9 eft furpaffé de trois unités par 12.

En toute Proportion Arithmetique la fomme des Extrêmes eft égale à la fomme des Moiens, comme ici 4 12 eft égal à 7+ 9.

Pour le démontrer d'une maniere générale, A eft à A+x, comme B eft à B+ x. x exprime l'excès du Confequent fur l'Antecedent, qui est égal dans les deux Raifons.

Ajoûtant les deux Extrêmes, vient A+B+x Ajoûtant les deux Moïens, vient AB, qui eft la même chose.

PREMIERE PROPOSITION FONDAMENTALE.

Des Lignes Proportionelles.

A

C

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K

Les Lignes également inclinées dans deux differens efpaces enfermés par des paralleles, font entre elles en même Raifon que les perpendiculaires de ces espaces. Soient fuppofées les deux lignes CD, GH, chacune étant inclinée dans fon efpace; c'eft-à-dire, l'Angle CDB, égal à l'Angle GH F. II faut démontrer

que la ligne CD, est à

B

D

E

la ligne GH, comme

M

la perpendiculaire A B

eft à la perpendiculai

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re EF.

Pour cela, je divife la

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ligne CD, en telles Aliquottes qu'il me plaira. Ici, par exemple, je la divife en fix parties égales comme CK. Par les points de divifion je mene des paralleles à l'efpace, c'eft-à-dire, à la ligne AC. Ces pa ralleles divifent l'efpace total en fix petits efpaces paralleles égaux entre eux; & la perpendiculaire AB, fe trouve divifée de telle forte que la ligne AI, eft fa fixième partie, de même que la ligne CK, eft la fixiéme partie de la ligne CD. Voila donc les lignes CK, AI, Aliquottes pareilles des lignes CD, AB. Je prens maintenant la petite ligne A1, pour mefurer l'autre perpendiculaire EF. Je trouve qu'elle

y

eft contenuë

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trois fois, avec un

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refte. Par les points de divifion je mene des paralleles à la ligne E G. I s'enfuivra

de là

que la ligne GH, fera divifée de tel

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le forte, que la petite

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ligne GM, fera conte

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nuë trois fois avec un

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de même que la ligne

F

H

AI, ou plûtôt fon

ΑΙ égale EL, eft contenuë trois fois avec un refte dans la perpendiculaire EF. Il s'enfuivra de plus que G M, fera neceffairement égale à la petite ligne CK, par la cinquiéme Propofition des paralleles. Cette préparation faite, il eft vifible que C K, fixième partie de CD, eft contenuë trois fois avec un refte dans la ligne GH, & que AI, fixiéme partie de AB, eft contenuë pareillement trois fois avec un refte dans la ligne E F. D'ailleurs, les deux reftes OH, NF font entre eux comme les Aliquottes pareilles CK, AI, ou leurs égales GM, EL; ce qu'on démontrera de même, en divifant l'espace parallele EG LM, en telles Aliquottes qu'on voudra, & en fe fervant de ces Aliquottes pour mesurer le petit efpace NO FH, qui renferme les deux reftes; donc les lignes CK, AI, Aliquottes pareilles dés Antecedens CD, AB, font également contenuës dans les Confequents GH, EF; donc CD, GH:: AB, EF. Ce qu'il falloit démon

trer..

Si au lieu de divifer la ligne CD, en fix parties égales, je l'avois divifée en cent mille parties égales; je me ferois fervi de ces cent milliémes parties pour mesurer la ligne GH, chacune de ces cent milliémes parties auroit été contenue dans la ligne GH, ou précisément un certain nombre de fois, ou avec un refte; de même une cent milliéme partie de la ligne AB, auroit été contenuë dans la ligne EF, ou précisément le même nombre de fois, ou le même nombre de fois avec un refte; & de là s'enfuivroit la Proportion des quatre lignes, comme ci-deffus.

SECONDE PROPOSITION.

Si deux lignes font autant inclinées dans leur efpace parallele, que deux autres lignes dans le leur, les quatre lignes font Proportionelles.

Si la ligne

AB, eft au

tant incli

née dans

fon efpace, que la ligne

l'eft

EF,
dans le fien,
ces deux li-
gnes feront en-
tre elles, com-

me les perpen-
diculaires des
efpaces, par la

Propofition

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précedente.

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