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que les Angles А
BAD, BCA
étant tous deux
droits font
eux - mêmes
suposés égaux.
On démontre- B
С

D ra de même que l'Angle BAD, eft semblable à l'Angle DCA, parce que outre qu'ils sont tous deux droits, ils forment par leurs côtés des Angles égaux chacun à chacun sur leurs bases, car le premier forme sur sa base BD, l'Angle B DA, & ce même Angle B DA, ou CD A, et l'Angle formé sur la base XD, par un côté de l'Angle DC A. Les trois Angles BAD, BCA, DCA, sont donc non seulement égaux, mais semblables, ce qu'il ne

qu'il ne faut pas confondre; c'est-à-dire, que les Angles qu'ils forment par leurs côtés sur leurs bases sont égaux chacun à chacun; donc par

par la quatriéme Proposition de ce Livre, les côtés homoloo gues de ces trois Angles femblables sont proportionels; c'est-à-dire,

Le petit côté BC, est à la base AB, comme le petit côté AB, est à sa base BD.

Le côté CD, est à sa base AD, comme le côté AD est à la base BD.

Le petit côté CB, de l’Angle BCA, eft à son autre côté CA, comme le petit côté CA, de l’Angle DCA, eft à son autre côté DC.

Pour prouver plus brievement ces proportions, on peut dire que par la perpendiculaire AC, l'on a trois moiennes proportionelles ; sçavoir AB, moïen proportionel entre BD, & BC.

možen proportionel entre BD, & CD, AC, moien proportionel entre BC, &CD.

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AD,

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gne droite,

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telle qu'est
la ligne
AD, sur le
point B,qui
A

D

B les joint, j'élevé la perpendiculaire indéfinie. Je divise la ligne ÅD, en deux parties, égales au point F, & du point F, pris pour centre, intervalle FD, je décris le cercle qui coupe la perpendiculaire au point'E; je dis que la ligne BE, eft la moïenne proportionelle cherchée : car par la construction , l'Angle AED, eft un Angle droit, puisqu'il a fon sommet dans la circonference, & qu'il est appuie sur un demi-cercle ou 180 degrés; donc par la précedente Propofition, la perpendiculaire EB, eft moienne proportionelle entre les deux Segmens de la base À B, BD, Ou CD, qui sont les deux lignes données.

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SEPTI E'ME LIVRE.

Des Réciproques.

DEFINITION S.

:

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ORSQUE quatre lignes sont proportionelles,

les Moïennes.

Ainsi lorsque l'on dit, ces deux lignes-là sont Réciproques à ces deux autres-ci; c'est comme si l'on

à disoit : la premiere de ces deux lignes-là, est à la premiere de ces deux lignes-ci, comme la seconde de ces deux lignes-ci, est à la seconde de ces deux lignes-là.

Lorsqu'un même Angle a deux bases , qui n'étant point paralleles , forment avec ses côtés des Angles égaux; l'un d'un côté, l'autre de l'autre, telles bases sont dites Antiparalleles, & ces bases peuvent être. Antiparalleles, suivant trois dispositions. L’Angle CAE,

А a deux bases

qui
se croisent

3
ce cas, l'Angle en
c, doit être égal à
l'Angle en E, & par
consequent l'Angle en

, égal à l'Angle en
D.

E

& en

D

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Dans la deuxiéme disposition, l'Angle

F
I FK, a deux bases
IK, GH, entiere-
ment séparées , &

H
dans cette disposi-
tion, l'Angle en 1,
doit être égal à l'An-
gle GHF, & par con-

I

K
sequent l’Angle en
K, égal à l'Angle HGF.
Dans la troisiéme dif-

L
position, l'Angle NLO,
à deux bases qui se joi-
gnent au point 0, & en
ce cas l'Angle LNO, est

M. égal à l'Angle LOM, &

à l'Angle LMO, est égal à l’Angle Lon.

Dans ces trois disposi- N tions, les côtés totaux comparés avec les côtés partiaux, donnent des Réciproques; car :

Dans la premiere disposition, le côté Ac, est au côté A D, comme le côté A E est au côté AB.

Dans la seconde , le côté FI, est au côté FH, comme le côté FK, est au côté FG.

Dans la troisiéme, le côté LN, est au côté LO, comme le côté LO, est au côté LM.

Pour le démontrer:

Par les trois sommets A, F, I, soient tirées des paralleles à chacune des deux bases ; chacune des trois difpofitions donne deux espaces paralleles,

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R

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.Tc

Dans la premiere

S dispositi

A tion, la ligne AC, & la ligne AD, font dans l'ef

B pace compris entre les paralleles RS,

E TV; la li

X gne AE, & la ligne AB, sont dans l'autre efpace compris entre les paralleles P Q, Xr. Or par la supposition, la ligne Ac, est autant inclinée dans le premier espace, que la ligne A E, dans le second, & la ligne AD, autant inclinée dans le premier espace, que la ligne AB, dans le second; donc par la premiere Proposition des Proportionelles, la ligne ac, est à la ligne AE, comme la ligne AD, est à la ligne AB.

Dans la seconde disposition, la ligne FI, &

. la ligne FK, font dans les pace compris en tre les paralleles 3

41

H ze, 5 6, la ligne FH, & la ligne FG, font :

1 dans l'autre el pace compris en

K6 tre les paralleles į 2, ; 4. Or la ligne FI, eft au

F

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