portant cette longueur dans le cercle à divifer du point E à 45, j'ai un arc en effet de 45 degrés. Il eft très-vifible que bafe E G, eft auffi de 60 degrés; par exemple, l'An gle EGF, eft un Angle infcript, qui aiant pour me fure la moitié de l'arc EF, de 120 degrés, eft necef fairement un Angle de 60 degrés; donc ces trois Angles étant égaux, les trois lignes EG, GD, ED, font égales. HUITIEME PROPOSITION. Si une ligne divifant un Angle quelconque en deux parties égales, tombe fur la bafe de cet Angle, elle la partage proportionellement aux côtés de l'Angle. Soit l'Angle BAD, divifé en deux parties égales par la ligne AC, qui coupe la bafe BD, au point C; je dis que le côté AB, eft à la portion BC, de la bafe, comme le côté AD, eft à la portion CD. Par les points B, & D, foient menées les lignes EF, HI, paralleles à la ligne AC, prolongée en G. Il fe forme par là deux efpáces paralleles, & il eft évident que la ligne BA, eft autant inclinée dans fon efpace que la ligne DA, l'eft dans fien, puifque par la construction, 'Angle BAC, eft égal à l'Angle CAD; de même la ligne BC, eft autant inclinée dans le premier espace, où eft renfermée la ligne BA, que la ligne CD, l'eft dans le fecond espace, où eft renfermée la ligne AD, puifque c'eft une même ligne coupée par des paralleles; donc par la deuxiéme Propofition de ce Livre, la ligne AB, eft à la ligne AD, comme la ligne BC, eft à la ligne CD, & alternando, la ligne AB, eft à la ligne BC, comme la ligne AD, eft à la ligne CD. NEUVIEME PROPOSITION. Si du fommet d'un Angle droit, l'on mene une perpendiculaire fur la bafe, cette perpendiculaire forme deux Angles femblables entre eux & autotal, d'où s'enfuivent plufieurs Proportions. Il faut relire foigneufement la quatriéme Propofition de ce Livre, pour bien entendre celle-ci qui eft fart importante. L'Angle BAD eft droit, l'Angle BCA, eft droit. Lepremier forme fur fa base BD, l'Angle ABD; B A le fecond, c'est-à-dire, l'Angle BCA, forme fur fa base BA, le même Angle ABD, ou ABC; donc l'Angle BAD, eft femblable à l'Angle BCA, puifque les Angles fur les bafes font égaux entre eux, & F que les Angles BAD, BCA Ꭰ étant tous deux droits, font eux-mêmes fupofés égaux. On démontre- B ra de même que l'Angle BAD, eft femblable à l'Angle DCA, parce que outre qu'ils font tous deux droits, ils forment par leurs côtés des Angles égaux chacun à chacun fur leurs bafes, car le premier forme fur fa base BD, l'Angle B DA, & ce même Angle B DA, ou CDA, eft l'Angle formé fur la base AD, par un côté de l'Angle D CA. Les trois Angles BAD, BCA, DCA, font donc non feulement égaux, mais femblables, ce qu'il ne faut pas confondre; c'est-à-dire, que les Angles qu'ils forment par leurs côtés fur leurs bafes font égaux chacun à chacun; donc par la quatriéme Propofition de ce Livre, les côtés homolo gues de ces trois Angles femblables font proportionels; c'eft-à-dire, Le petit côté BC, eft à fa bafe AB, comme le petit côté AB, eft à fa bafe B D. Le côté CD, eft à fa bafe AD, comme le côté AD eft à fa bafe BD. Le petit côté CB, de l'Angle BCA, eft à son autre côté CA, comme le petit côté CA, de l'Angle DCA, eft à fon autre côté DC. Pour prouver plus brievement ces proportions, on peut dire que par la perpendiculaire AC, l'on a trois moïennes proportionelles; fçavoir AB, moïen proportionel entre BD, & BC. AD, moïen proportionel entre BD, & CD, DIXIEME PROPOSITION. Entre deux lignes données comme AB, CD, trouver une moïenne proportionelle, Je les difpofe de telle forte bout à bout, qu'el les ne faf fent qu'une même li gne droite, telle qu'eft la ligne AD, fur le point B,qui les joint, A A B C D j'élevé la perpendiculaire indéfinie. Je divife la ligne AD, en deux parties égales au point F, & du point F, pris pour centre, intervalle FD, je décris le cercle qui coupe la perpendiculaire au point E; je dis que la ligne BE, eft la moïenne proportionelle cherchée car par la conftruction, l'Angle A ED, eft un Angle droit, puifqu'il a fon fommet dans la circonference, & qu'il eft appuïé sur un demi-cercle ou 180 degrés; donc par la précedente Propofition, la perpendiculaire EB, eft moïenne proportionelle entre les deux Segmens de la bafe AB, BD, ou CD, qui font les deux lignes données. SEPTIEME LIVRE. Des Réciproques. DEFINITIONS. ORSQUE quatre lignes font proportionelles, Lles Extrêmes font dites Réciproques à l'égard des Moïennes. Ainfi lorfque l'on dit, ces deux lignes-là font Réciproques à ces deux autres-ci; c'est comme fi l'on difoit: la premiere de ces deux lignes-là, eft à la premiere de ces deux lignes-ci, comme la feconde de ces deux lignes-ci, eft à la feconde de ces deux lignes-là. Lorfqu'un même Angle a deux bafes, qui n'étant point paralleles, forment avec fes côtés des Angles égaux; l'un d'un côté, l'autre de l'autre, telles bafes font dites Antiparalleles, & ces bafes peuvent être Antiparalleles, fuivant trois difpofi tions. |