difpofition, l'Angle IFK, a deux bafes IK, GH, entierement féparées, & dans cette difpofition, l'Angle en I, Dans la deuxième F H G doit être égal à l'An gle GHF, & par con- Dans ces trois difpofitions, les côtés totaux I N M L K comparés avec les côtés partiaux, donnent des Réciproques; car: Dans la premiere difpofition, le côté AC, est au côté AD, comme le côté A E eft au côté A B. Dans la feconde, le côté FI, eft au côté FH, comme le côté FK, eft au côté FG. Dans la troifiéme, le côté LN, eft au côté LO, comme le côté LO, est au côté L M. Pour le démontrer: Par les trois fommets A, F, L, foient tirées des paralleles à chacune des deux bases; chacune des trois difpofitions donne deux efpaces paralleles. pris entre les paral- TC leles RS, TV; la li E gne AE, & la ligne AB, font dans l'autre efJ pace compris entre les paralleles PQ, XY. Or par la fuppofition, la ligne AC, eft autant inclinée dans le premier efpace, que la ligne AE, dans le fecond, & la ligne AD, autant inclinée dans le premier efpace, que la ligne AB, dans le fecond; donc par la premiere Propofition des Proportionelles, la ligne AC, eft à la ligne AE, comme la ligne AD, eft à la ligne AB. Dans la fecon- pace compris en- pace compris en tre les paralleles 2, 3 4. Or la ligne FI, eft au tant inclinée dans le premier efpace, que la ligne FH, dans le fecond; la ligne FK, eft autant inclinée dans le premier efpace, que la ligne FG, dans le fecond; donc la ligne FI, eft à la ligne FH, comme la ligne FK, eft à la ligne FG. Dans la troifiéme difpofition, il faut que la ligne LN, & la ligne LO, foient dans l'espace compris entre les paralleles 13 14, 7 8; & que la ligne LO, & la ligne LM, foient dans l'efpa que la ligne LO, fe trouve dans les deux efpaces paralleles, où elle forme differens Angles avec les bafes. Or la ligne LN, eft autant inclinée dans le premier efpace, que la ligne LO, dans le fecond, où elle fait un Angle aigu en O, égal à l'Angle aigu en N; & d'ailleurs, la ligné LO, fait dans le premier efpace un Angle égal à l'Angle que la ligne L M, fait dans le fecond; donc la ligne LN, eft à la ligne LO, comme la ligne LO, eft à la ligne LM. PREMIERE PROPOSITION GENERALE. Pour les Réciproques. Si l'on prolonge indéfiniment le diametre d'un cercle, & que l'on coupe le diametre par une per pendiculaire, foit qu'elle entre dans le cercle, foit qu'elle touche le cercle, foit qu'elle foit hors du cercle; & que de l'extremité du diametre oppofée au côté du prolongement, l'on tire deux lignes quelconques terminées par la circonference, ou par Ja perpendiculaire, & coupées par l'une ou par l'autre; chaque toute & fa partie, à prendre du point d'où elles font tirées, fera Réciproque à chaque autre toute & fa partie. Voiez les figures. Premier Cas. Lorfque la perpendiculaire coupe le cercle. Soit le dia lignes AB, AC, elles feront terminées aux points C, & B, par la perpendiculaire, & coupées par le cercle aux points E, & D; je dis que la ligne AB, eft à la ligne AC, comme la portion A D, est à la portion AE. Pour le prouver, foient joints les points E, D, par la droite ED, il n'y a qu'à démontrer que les bafes BC, ED, font antiparalleles; or cela eft aifé: car l'Angle EDA, eft infcript, & a pour mefure la moitié de l'arc EGA, de même l'Angle ABC, a pour mesure la moitié de l'arc EGA, parce que c'eft un Angle alterne de l'Angle HAE, Angle du petit Segment, qui a pour mefure la moitié de l'arc EGA, donc les bafes font antiparalleles. Dans ce même premier Cas, les bases fe peuvent par la même rai F fon; donc la ligne AB, eft toûjours à la ligne AC, comme la portion AD, à la portion A E. Second Cas. Lorfque la perpendiculaire touche le cercle. A D à la toute AD, comme la portion AF, à la portion AE; foient joints les points EF, il n'y a qu'à démontrer que les bafes BD, EF, font antiparalleles ; car ainfi qu'il a déja été dit deux fois, l'Angle CBA, alterne de l'Angle du petit Segment, a pour mefure la moitié de l'arc EGA, qui eft auffi la mesure de l'Angle infcript EFA. D'ailleurs dans ce fecond Cas,le diametre eft moïen proportionel entre chaque toute, & fa partie dans le cercle. Soit tirée la ligne EC, il n'y a qu'à dé ( |