Il faut donc pour soustraire juste ecrire 15—7. 43, c'est-à-dire, 11.

En un mot, pour soustraire une grandeur ou plusieurs grandeurs d'une autre grandeur, il faut changer tous les signes des grandeurs à soustraire , & les joindre ainsi à la grandeur dont on soustrait.

De la grandeur A, je veux soustraire B—(+ D- E, j'écris A - B +CD+E, & l'ope, :

ration est faite.

C

Multiplication.

Cette operation est la plus difficile. On la comprendra cependant avec un peu d'attention. Si je veux multiplier la grandeur A, par la

grans deur B, je sçai déja qu'il faut écrire simplement AB. Si je voulois multiplier 3 A par 4 B, je devrois

B par

la même raison écrire 12 AB. Mais pour comprendre les operations suivantes, il faut se souvenir des Axiomes posés ci-devant.

Un tout est égal à toutes ses parties prises ensemble.

C'est la même chose de multiplier un tout par lui-même, ou de le multiplier par chacune de ses parties, & de prendre la somme de tous ces pros duits. Cela posé,

Je veux multiplier la grandeur A + B par la grandeur C; je considere que la grandeur A + B à deux parties, sçavoir A & B. Donc je dois multiplier A par C, & B par C, pour avoir le produit de la grandeur A + B par C, c'est-à-dire, que je dois écrire AC + B C.

BC
Par la même raison, si je veux multiplier la

grandeur A + B, par la grandeur C + D, je dois d'a

!

>

bord multiplier A + B par C , c'est-à-dire , que

C je dois mettre comme ci-dessus AC + B C. Mais il faut encore multiplier À + B par D, c'est-à-dire, que je dois mettre À D 4 B D. Donc la multiplication totale eft AC + BC + AD + B D.

En nombres je veux multiplier 2 + 3 par 4 +5, c'est-à-dire, 5 par 9, ce qui produit 45. Je multiplie 2 par 4, 2 par 5, į par 4, 3 par 5, viennent les produits 8, 10, 12, 15, dont la somme est 45.

En un mot, il faut faire autant de multiplications partiales , qu'il y a de caracteres differens dans le multipliant, & dans la grandeur à multiplier.

Que fi j'avois à multiplier À + B par C - D, j'écrirois ainsi le produit AC + BC — AD — BD, me souvenant toûjours que quand je multiplie le signe + par le signe -, le produit est moins. C'est la même raison que dans la foustraction. La chofe est évidente dans les nombres. Car fi A est 6, que B foit 5, C soit 4, & que D soit 3 , il s'agit de mutiplier 6 + 5 par 4 - 3. Je multiplie + 6 par + 4 vient plus 24, je multiplie +95 par + 4 vient + 20, je multiplie +6 par - 3 vient — 18, je multiplie + 5 par — 3 vient ~15.

Ces quatre produits ensemble font 24 -+ 20 — 18

15, c'est-à-dire, 1 1. Ce qui doit venir en effet au produit, puisque multiplier 6 + 5 par 4 – 3, c'eft multiplier ir par 1. *

Mais il y a une autre observation importante à faire, qui est que lorsque je multiplie le signe par

-, le produit doit avoir le signe to Par exemple, je multiplie A - B par CD;

je dois écrire au produit AC-BC-AD+ BD.

.

J'écris + AC, parce que c'est + A, multiplié par + 6. J'écris - BC, parce que c'est —

le ligne

I

multiplié par + C. J'écris

- AD, parce que c'est + À multiplié par - D. J'écris + BD, parce que c'est – B multiplié par – D.

Pour en comprendre clairement la raison ; que A vaille 8, B soit 2, C soit 6, D soit 1. J'ai à multiplier A - B par 6-D; c'est-à-dire, + 8

2 par +6 -1, ou 6 par 5, il doit venir 30 au produit.

Je multiplie + 8 par + 5, vient + 48. Je multiplie 2 par +6, vient

-18? Je multiplie + 8 par - I, vient — 8. Je multiplie --- 2 par - I, vient + 2. Tous ces produits ajoûtés ensemble font 48 — 12- 8+2, c'est-à-dire 30,

, comme il devoit arriver.

En voici la raison. Lorsque je fais la multiplication partiale de 8 par 6, elle est trop grande ; & de combien ? de 8 fois 1 , parce 8 ne devoit être multiplié réellement que par 6-1, c'est-à-di

re par 5, il faudra donc déja diminuer 8; ainsi j'aurai à mettre - 8 dans la multiplication totale. Puis quand je viens à multiplier +6, il me vient - 12 : mais ce

trop, parce que je devois réellement multiplier

2 par 0-1, c'est-à-dire par 5, & le produit n'eût été que — 10. Ajant donc ôté 2 de trop, je dois les remettre dans l'addition des multiplications partiales , & c'est aussi ce que je fais en écrivant + 2 pour le produit de par 2. Ce raisonnement est clair, mais il demande de l'attention.

و

2 par

12 ôte

Division.

L'opération est fort courte; il n'y a qu'à séparer par une petite barre la grandeur qu'on divise, & la grandeur qui doit diviser; en sorte

que

la

A

deur qu'on divise foit au-dessus , & l'autre dessous. Ainsi pour diviser 4, par B, j'écris Pour divi

B

В С fer BC par x, j'écris

Pour diviser B C D par

х BCD G, j'écris

G Il y a seulement une observation à faire , qui cst, que

s'il se trouve la même ou les mêmes lettres audessus & au-dessous de la barre, il n'y a qu'à les effacer. L'expression demeure la même, mais. plus ABCD

CD fimple. Ainsi asant

, j'écris fimplement

A Y La raison de cela , est que pour multiplier la granCD

CDAB deur par AB, je dois écrire

; & diviх fant ce produit par AB, je n'ai qu'à écrire AB au

CDAB dessous ainsi

Or multiplier une grandeur par une grandeur, puis diviser le produit par la même grandeur, c'est ne la pas changer. Par exemple, multiplier 5 par 4, vient au produit 20. Diviser 20 par 4, revient le premier nombre 5. Si j'avois

cela voudroit dire simplement 3 B. Car divisant le numérateur & le dénominateur par 4, viendra

, c'est-à-dire , 3B; puisque 3 B, multipliés par Ac, puis divisés par AC, c'est toûjours 3 B.

En voila assés pour aller fort avant dans les plus importantes démonstrations.

Y

.

Y A B

12.B

4 AC

3 ABC
AC

ELEMENS

1

ELEMENS

DE

GEOMETRIE

PREMIER LIVRE. Des Perpendiculaires des obliques.

PREMIERE PROPOSITION.

'Un point donné comme A, faire tomber une perpendiculaire sur une ligne donnée comme B C.

Du point A pris pour centre, soit décrit

un cercle quela conque ,

B coupant la

G ligne donpée en deux points, comme D E. Des deux points