Il faut donc pour soustraire juste ecrire 15-7 3, c'est-à-dire, 11. En un mot, pour soustraire une grandeur ou plusieurs grandeurs d'une autre grandeur, il faut changer tous les fignes des grandeurs à soustraire, & les joindre ainsi à la grandeur dont on soustrait. De la grandeur A, je veux soustraire B - C + D-E, j'écris A - B + C - DE, & l'ope ration est faite. Multiplication. Cette operation est la plus difficile. On la comprendra cependant avec un peu d'attention. Si je veux multiplier la grandeur A, par la grandeur B, je sçai déja qu'il faut écrire fimplement A B. Si je voulois multiplier 3 A par 4 B, je devrois par la même raison écrire 12 AB. Mais pour comprendre les operations suivantes, il faut se souvenir des Axiomes posés ci-devant. Un tout est égal à toutes ses parties prises ensemble. C'est la même chose de multiplier un tout par lui-même, ou de le multiplier par chacune de ses parties, & de prendre la somme de tous ces produits. Cela posé, Je veux multiplier la grandeur A + B par la grandeur C; je considere que la grandeur A + B a deux parties, sçavoir A & B. Donc je dois multiplier A par C, & B par C, pour avoir le produit de la grandeur A + B par C, c'est-à-dire, que je dois écrire AC + В С. Par la même raison, si je veux multiplier la grandeur A+ B, par la grandeur C + D, je dois d'a 1 bord multiplier A + B par C, c'est-à-dire, que je dois mettre comme ci-dessus AC + BC. Mais il faut encore multiplier A + B par D, c'est-à-dire, que je dois mettre AD + BD. Donc la multiplication totale est AC + BC + AD + BD. En nombres je veux multiplier 2 + 3 par 4+5, c'est-à-dire, 5 par 9, ce qui produit 45. Je multiplie 2 par 4, 2 par 5, 3 par 4, 3 par 5, viennent les produits 8, 10, 12, 15, dont la somme est 45. En un mot, il faut faire autant de multiplications partiales, qu'il y a de caracteres differens dans le multipliant, & dans la grandeur à multiplier. AD Que fi j'avois à multiplier A + B par C - D, j'écrirois ainsi le produit AC + BC BD, me souvenant toûjours que quand je multiplie le signe + par le signe, le produit eft moins. C'est la même raison que dans la soustraction. La chose est évidente dans les nombres. Car fi A est 6, que B soit 5, C soit 4, & que D soit 3, il s'agit de mutiplier 6 + 5 par 4 3. Je multiplie + 6 par + 4 vient plus 24, je multiplie +5 par + 4 vient → 20, je multiplie +6 par - 3 Vient-18, je multiplie + 5 par 3 vient -15. Ces quatre produits ensemble font 24 + 20 – 18 -15, c'est-à-dire, 11. Ce qui doit venir en effet au produit, puisque multiplier 6 + 5 par 4 3, c'eft multiplier it par i. Mais il y a une autre observation importante à faire, qui eft que lorsque je multiplie le figne par le signe, le produit doit avoir le signe + Par exemple, je multiplie A - B par C - D; je dois écrire au produit AC-BC - AD + BD. J'écris + AC, parce que c'est + A, multiplié par + C. J'écris - BC, parce que c'est multiplié par + C. J'écris - AD, parce que c'est + A multiplié par - D. J'écris BD, parce que c'est B multiplié par - D. Pour en comprendre clairement la raison; que A vaille 8, B soit 2, C soit 6, D soit 1. J'ai à multiplier AB par C-D; c'est-à-dire, + 8 par + 6-1, ou 6 par 5, , il doit venir 30 au produit. 2 Je multiplie + 8 par + 6, vient + 48. Je multiplie 2 par →6, vient - 1. Je multiplie + 8 par I, vient 8. Je multiplie par 1, vient + 2. Tous ces produits ajoûtés ensemble font 48 - 128+2, c'est-à-dire 30, comme il devoit arriver. En voici la raison. Lorsque je fais la multipli cation partiale de 8 par 6, elle est trop grande; & de combien? de 8 fois 1, parce 8 ne devoît être multiplié réellement que par 6_1, c'est-à-di re par 5, il faudra donc déja diminuer 8; ainsi j'aurai à mettre 8 dans la multiplication totale. Puis quand je viens à multiplier - 2 par +6, il me vient 12: mais ce parce que je devois réellement multiplier 61, c'est-à-dire par 5, & le produit n'eût été que 10. Aïant donc ôté 2 de trop, je dois les remettre dans l'addition des multiplications partiales, & c'est aussi ce que je fais en écrivant + 2 pour le produit de - I par 2. Ce raisonnement eft clair, mais il demande de l'attention. Division. - 12 ôte trop, 2 par L'opération est fort courte; il n'y a qu'à séparer par une petite barre la grandeur qu'on divise, & la grandeur qui doit diviser; en sorte que la gran 1 deur qu'on divise soit au-dessus, & l'autre dessous, Ainsi pour diviser A, par B, j'écris fer BC par x, j'écris BC X A Pour divi • Pour diviser BCD par Il y a seulement une observation à faire, qui eft, que s'il se trouve la même ou les mêmes lettres audessus & au-dessous de la barre, il n'y a qu'à les effacer. L'expreffion demeure la même, mais. plus fimple. Ainsi aïant CD ABCD CDAB CD j'écris fimplement La raison de cela, est que pour multiplier la grandeur par A B, je dois écrire ; & divifant ce produit par AB, je n'ai qu'à écrire AB audessous ainsi Or multiplier une grandeur X CDAB XAB Y par une grandeur, puis diviser le produit par la même grandeur, c'est ne la pas changer. Par exemple, multiplier 5 par 4, vient au produit 20. Diviser 20 par 4, revient le premier nombre 5. Si j'avois cela voudroit dire simplement 3 B. Car divisant le numérateur & le dénomina teur par 4, viendra ABC , c'est-à-dire, 3B; puif AC que 3 B, multipliés par AC, puis divisés par AC, c'est toûjours 3 B. En voila affés pour aller fort avant dans les plus importantes démonstrations. ELEMENS |