ra plus longue H que GH puifque IB, GH, font toutes deux perpendiculaires fur CD, & obliques fur IN. Donc la ligne AB, eft égale à la ligne GH, puifqu'on n'y peut rien ajoûter, ni en rien retrancher, fans la rendre inégale à la ligne GH. Pour prouver maintenant que la perpendiculaire GH, eft en effet perpendiculaire fur les deux lignes CD, EF, il n'y a qu'à se souvenir de la precedente Propofition, où l'on a démontré que fi une feule ligne eft perpendiculaire fur CD, & oblique fur EF, toute autre ligne qui fera perpendiculaire fur CD, fera oblique fur EF. Donc fi GH, étant perpendiculaire fur CD, étoit oblique fur E F, il s'enfuivroit que AB, qui eft perpendiculaire fur CD, feroit oblique fur EF, ce qui eft contre la fuppofition. QUATRIE ME PROPOSITION. Par un point donné comme A, faire paffer une parallele à une ligne donnée comme BC, c'est-à-dire, tirer par le point A, une ligne, dont tous les points foient toûjours à égale distance de la ligne BC, en forte que ces deux lignes prolongées de part & d'autre à l'infini, ne puiffent jamais fe rencontrer. Du point donné A, foit mené fur D point A, foit me née fur AF, la perpendiculaire EA, prolongée fi l'on veut en D; je dis que la ligne DGAE, rallele à la ligne donnée BC. Car par la conftruction, la ligne AF, étant perpendiculaire aux deux lignes DE, BC, il s'enfuit par la precedente Propofition, que toute autre perpendiculaire, fur une de ces lignes, comme GH, fera perpendiculaire fur les deux, & égale à la perpendiculaire AF: Donc les points G, A, feront chacun également éloignés de la ligne donnée BC; car la diftance d'un point à une ligne, est mesurée par la perpendiculaire qui eft la plus courte de toutes. Donc tout autre point que la ligne DE, fera également éloigné de la ligne BC: Donc toute la ligne DE, fera toûjours à égale distance de la ligne BC, en quoi confifte le parallelifme. Il s'enfuit de cette conftruction, qu'étant donnée la ligne BC, & le point A, fi l'on mene la perpendiculaire AF, & une autre perpendiculaire comme GH, égale à la premiere, la ligne qui joindra les points A, G, fera la parallele demandée. AUTRE CONSTRUCTION. Par le point donné A, foit menée à difcretion une oblique comme AG, fur la ligne BC. Du point FI A, pris pour centre, foit D décrite une portion de B cercle dont le G C LH raïon foit AG, & du point G, pris pour centre, foit décrit l'arc AH, dont le raion foit GA. Soit pris l'arc GF, égal à l'arc AH. Par le point F, & le point donné A, foit menée la ligne DFIAE; Je dis qu'elle eft parallele à ligne BC. même la li G les gne FA, eft égale à la ligne GH, puisque ce font deux raïons de deux cercles égaux. D'ailleurs les arcs FG, AH, étant égaux par conftruction cordes qui les foutiennent feront égales, c'eft-àdire, les lignes droites FG, AH. On peut donc confiderer les deux lignes droites GF, GA, comme deux obliques inégales entre elles, & inclinées de different côté, menées du point G, fur la ligne DE. On peut auffi confiderer les deux lignes droites AH, AG, comme deux autres obliques inégales entre elles & inclinées de different côté, menées du point A, fur la ligne BC. Mais ces deux dernieres obliques inégales entre elles, font chacune égale à chacune des deux premieres, c'eft-à-dire, la ligne droite GF, égale à la droite AH; GA, égale à AG; & de plus FA, diftance des points de fection des deux premieres obliques, eft égale à GH, distance des points de fection des deux dernieres. Donc par la feptiéme Propofition du premier Livre, les deux points A, G, d'où partent les obliques, fon chacun également diftans de la ligne fur laquelle elles font menées. Donc les deux perpendiculaires AL, GI, font égales, donc la ligne qui les renferme eft parallele à la donnée. CINQUIEME PROPOSITION. Les également inclinées entre-paralleles font égales, les portions des paralleles qu'elles coupent font égales, & ces également inclinées font paralleles elles G E D M F linées en-L tre les paralleles IA, LM. Soient menées des points B, A, les perpendiculaires BE, AF. Des points D, B, foient menées les perpendiculaires DH, BG: & foient joints les points B, D, par la ligne B D. Puifqu'on fuppofe les obliques BC, AD, également inclinées, il faut que leurs éloignemens de perpendicule CE, DF, foient égaux. Or leurs perpendiculaires BE, AF, font égales, puifqu'elles font entre-paralleles, donc par le premier Čas de la fixiéme Propofition du premier Livre, les obliques BC, AD, font égales. 2°. Les portions des paralleles BA, CD, font égales. Car BA, est égale à FE, puifque les lignes BA, FE, font toutes deux perpendiculaires entre les lignes BE, AF. Or CD, eft égale à FE, parce que CE, étant égale à DF; la grandeur ED, qui leur eft commune, étant jointe à l'une & à l'autre, doit faire deux grandeurs égales. Donc CD, eft égale à BA, qui eft égale à FE. 3. Les lignes BC, AD, également inclinées, font paralleles elles-mêmes; car les trois lignes BD, DA, AB, font égales aux trois lignes BD, BC, CD, chacune à chacune. Donc par la feptiéme Propofition du premier Livre, les perpendiculaires DH, BG, font égales. Donc elles font entre-paral leles. B E iD également éloigné des points BC. Or le point D, eft un point de cette perpendiculaire, donc il eft également éloigné des points B, C. Donc la corde eft divifée en deux par ties égales. Troifiéme Cas. Si la ligne EA, paffe par le centre, & qu'elle coupe la corde par la moitié, elle eft perpendiculaire à la corde. Car le centre & le point D, étant chacun à égale diftance des points B, C, la ligne EA, fera perpendiculaire par la définition. SECONDE PROPOSITION. Par trois points quelconques, comme A, B, C, pourvû qu'ils ne foient point dans une même ligne droite, faire paffer une circonference. Soient joints par une ligne droite les points A, B; & par une autre F ligne droite, les points B, C. Soient divifées perpendiculairement & A par la moitié, les lignes AB, BC, par les lignes FG, ED. Le point H, interfection des deux B H C G perpendiculaires, fera le centre de la circonference que l'on décrira de l'intervale HA, ou HB, Ou H C... : Car par le premier Cas de la précédente Propofi→ tion, les lignes FG, ED, coupant les lignes AB, |