DES CORDES. PREMIERE PROPOSITION. La ligne droite qui coupe une corde peut avoir trois conditions. Couper la corde perpendiculairement. Couper la corde par la moitié. Paffer par le centre du cercle. Deux de ces conditions données, donnent la troifiéme. E Premier Cas Si la li gne droite EA, perpen- D, l'un de fes points eft fuppofé également éloigné des points B, C, il faut que tout autre point de cette perpendiculaire foit également éloigné dès points B, C, & que cette même perpendiculaire comprenne tous les points qui font également éloignés des points B, C; or le centre eft un point également éloigné des points B, C, qui font en la circonference. Donc la perpendiculaire EA, paffera par le centre. Second Cas. Si la ligne eft perpendiculaire à la corde, & qu'elle paffe par le centre A, elle la coupe en deux parties égales au point D. Car puifque le point A, qu'on fuppofe être le centre, eft égalment éloigné des points B, C, & que la ligne EA, eft perpendiculaire, il faut que tout autre point de cette même perpendiculaire foit B પ. B E également éloigné des points BC. Or le point D, eft un point de cette perpendiculaire, donc il eft également éloigné des points B, C. Donc la corde eft divifée en deux parties égales. Troifiéme Cas. Si la ligne EA, paffe par le centre, & qu'elle coupe la corde par la moitié, elle eft perpendiculaire à la corde. Car le centre & le point D, étant chacun à égale diftance des points B, C, la ligne EA, fera perpendiculaire par la définition. SECONDE PROPOSITION. Par trois points quelconques, comme A, B, C, pourvû qu'ils ne foient point dans une même ligne droite, faire paffer une circonference. F Soient joints par une ligne droite les points A, B; & par une autre ligne droite, les points B, C. Soient divifées. perpendiculairement & A par la moitié, les lignes AB, BC, par les lignes FG, ED. Le point H, interfection des deux B H C perpendiculaires, fera le centre de la circonference que l'on décrira de l'intervale HA, ou HB, ou H C... Car par le premier Cas de la précédente Propofi tion, les lignes FG, ED, coupant les lignes AB, BC, qui doivent être des cordes du cercle requis, perpendiculairement & par la moitié; l'une & l'autre paffe par le centre. Donc le centre doit être neceffairement dans l'une & l'autre de ces deux lignes qui ne pouvant avoir qu'un feul point commun, comme H, le déterminent à être le centre du cercle. On feroit la même chofe, fi l'on propofoit de trouver le centre d'un cercle donné, il n'y auroit qu'à marquer à difcretion, trois points dans fa circonference & faire comme ci-deffus. Quand on a trois points d'une circonference, on a toute la circonference; car aiant trois points, on a le centre par la précedente Propofition, & le centre avec un des points donnés déterminent le raion. COROLLAIRE II. Si deux circonfereuces ont trois points communs elles les ont tous; c'eft-à-dire, que c'eft la même circonference. COROLLAIRE III. Il eft impoffible que deux circonferences fe cou pent en plus de deux points. TROISIEME PROPOSITION. La perpendiculaire qui coupe une corde en deux parties égales, divife en deux parties égales les arcs, grands & petits, qui font foutenus par cette corde. Soit la corde AB, divi fée au point E, en deux Si la corde AC, eft égale à la corde CB, & que la corde AD, foit égale à la corde DB, les arcs AC, CB, feront égaux entre eux, & les arcs AD, DB, pareillement, puifque fuivant les Axiomes que nous avons fuppofés, dans le même cercle ou dans les cercles égaux, les cordes égales foutiennent des arcs égaux. Or l'égalité des cordes AC, CB, eft manifefte, auffi-bien que celle des cordes AD, DB. Car la ligne CED, étant perpendiculaire à la corde AB, & le point E, étant fuppofé également éloigné des extremités AB. Tout autre point de cette perpendiculaire, comme les points C, D, fera également éloigné des extremités AB, donc la ligne AC, qui mefure la diftance des points A, C, eft égale à la ligne CB, qui mefure la distance des points C, B, & la ligne AD, égale à la ligne DB; donc l'arc AC, égal à l'arc CB; & l'arc AD, égal à l'arc D B. COROLLAIRE. Tout raion perpendiculaire fur le diametre, parla demi-circonference en deux parties égales: tage lors confideré comme une car le diametre eft pour corde qui foutient la demi-circonference. QUATRIEME PROPOSITION. Si de l'extrémité de l'un des raïons qui comprennent un arc, l'on mene une perpendiculaire fur l'au tre raïon, elle s'appelle le Sinus de l'arc, & fi cette perpendiculaire eft prolongée jufqu'à la circonconference, elle deviendra corde d'un arc double de l'arc donné. Soit l'arc donné BC, compris par les raions AB, AC. De l'extremité de l'un des raïons, comme B, foit menée fur un point de l'autre raion la perpendiculaire BE, elle fera par la définition le Sinus de l'arc BC. Soit à B E D prefent prolongé ce Sinus BE, jufqu'au point D. Je dis que l'arc BCD, foutenu par la corde BED, eft double de l'arc BC. Car la ligne CA, paffant par le centre, & étant par la conftruction, perpendiculaire fur la ligne BD, il s'enfuit par les précedentes Propofitions, que non feulement elle coupe cette ligne ou corde BD, en deux parties égales au point E, mais qu'elle coupe auffi l'arc BCĎ, en deux parties égales au point C. D'où s'enfuit que l'arc BCD, eft double de l'arc donné BC, & que la corde BD, eft double du Sinus BE. Ainfi l'on peut encore donner cette autrę définition du Sinus. Le Sinus d'un arc eft la moitié de la corde qui foutient le double de l'arc dont il eft Sinus. Ces Propofitions & définitions font d'une extrême confequence pour la fuite. |