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INTRODUCTION

A

L'APPLICATION DE L'ALGEBRE

À

LA GEOMETRIE

"L

DEFINITION S

'ALGEBRE eft l'Art de faire fur les Let tres de l'Aphabet, les opérations que l'on fait fur les nombres, c'eft-à-dire, l'Addition, la Souftraction, la Multipli Cation, la Divifion & les Extractions de racines. L'on fe fert des Lettres de l'Alphabet préferablement à d'autres caracteres arbitraires, dont on pourroit également fe fervir, tant parce qu'on les connoît & qu'on les écrit avec plus d'habitude que tous autres caracteres, que parce que ces Lettres ne fignifiant rien d'elles-mêmes, on peut s'en fervir pour exprimer tout

Ce qui fait qu' qu'on voudra.

ne peut pas tirer le même avantage des caracteres Arithmetiques & des Nombres, que des Lettres, dans l'Application de l'Algebre à tous fes ufages; c'eft 19, qu'après avoir fait quelques-unes des opérations dont on vient de parler fur les Lettres, on en connoît non feulement le te

fultat, mais on connoît & on diftingue en même temps toutes les quantités qu'il renferme ; ce qui n'est point de même dans les refultats des mêmes opérations faites fur les Nombres.

2°. Que les quantités inconnuës entrent dans le calcul auffi-bien que les connues, & que l'on opére avec la même facilité fur les unes que fur les au

tres.

3°. Que les démonftrations que l'on fait par le calcul algebrique font generales, & qu'on ne fçauroit rien prouver par les Nombres que par induction.

C'est précisément en ces trois chofes que confifte le grand avantage qu'on tire du calcul algebrique dans fon application à toutes les parties des Mathematiques, & en ce qu'on en démontre tous les Theorêmes, & qu'on en refout tous les Problêmes avec autant de facilité qu'il y auroit de difficulté à faire fes mêmes chofes felon la maniere des Anciens.

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On s'eft accoûtumé à emploïer les premieres Lettres de l'Alaphabet a, b, c, d, &c. pour exprimer les quantités connues; & les dernieres m, n, p, q, r, s, t, u, x, y, z, pour exprimer les inconnues.

1. Outre les Lettres qu'on emploie dans l'Algebre, il y a encore quelques autres Signes qui fervent pour marquer les opérations que l'on fait fur les mêmes Lettres. Ce Signe+, fignifie plus, & eft la marque de l'Addition. Ainfi + b, marque que b eft ajoûtée avec a.

Ce Signe, fignfie moins, & eft la marque de la Souftraction. Ainfi a — b, marque que b'eft fouftraite de a.

& eft la marque

Celui-ci, fignifie multiplié par, de la Multiplication. Ainfi axb, marqué que a & b, font multipliées l'une par l'autre.

On néglige très-fouvent ce Signe, parce qu'on

eft convenu que lorfque deux ou plufieurs Lettres font jointes ensemble fans aucun Signe qui fépare ces Lettres, les quantités qu'elles expriment, font dites multipliées; par exemple, ab marque affés que a & b fe multiplient: mais on s'en fert toûjours pour marquer que deux quantités exprimées par des Lettres majufcules de l'Alphabet fe mutiplient. Ainfi AB CD, marque que la grandeur exprimée par AB eft multipliée par la grandeur exprimée par CD. On emploie encore le Signe de multiplication en d'autres occafions qu'on trouvera dans la fuite.

Ce Signe, fignifie égal, & marque qu'il y a égalité entre les quantités qui le précedent, & celles qui le fuivent. Ainfi ab, marqué que a est éga

le à b.

Celui-ci

fignifie plus grand. Ainfi a▷ b, mar

que que a furpaffe b.

Celui-ci fignifie plus petit. Ainfi a <b, matque que a eft moindre

que b.

Celui-ci fignifie infini. Ainfi x=», marque que x eft une quantité infiniment grande.

2. Les Lettres de l'Alphabet font nommées quantés algebriques, lorfqu'on les emploie pour exprimer des grandeurs fur lefquelles on veut opérer.

3. Les quantités algebriques font nommées fimples, incomplexes ou monomes, lorfqu'elles ne font point liées enfemble par les Signes + &;a;

ศศ

ab,,&c. font des quantités incomplexes.

4. Elles font nommées compofées, ou complexes, ou polynomes, lorfqu'elles font liées enfemble par les Signés & ; a + b, ab + bb, ab — b c + font des quantités complexes.

cd,

ab+bb

5. Les parties des quantités complexes diftinguées par les Signes +&, font nommées termes, ab + bc — cd, eft une quantité complexe, qui renferme trois termes, ab, bc & cd. Il y a quelques remarques à faire fur le mot de terme qu'on trouvera ailleurs.

6. Les quantités complexes qui n'ont que deux termes, font nommées binomes; celles qui en ont trois, trinomes, &c.

7. Les quantités incomplexes qui font précedées du Signe, ou plûtôt qui ne font précedées d'aucun Signe (car les quantités incomplexes, & les premiers termes des quantités complexes qui ne font précedées d'aucun Signe font fuppofées être précedées du Signe +) font nommées pofitives, & celles qui font précedées du Signe négatives; d'où il fuit que les quantités complexes font pofitives, lorfque les termes qui ont le Signe furpaffent ceux qui ont le Signe; négatives, lorfque les termes précedés du Signe furpaffent ceux qui font précedés du Signe →.

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-

8. Les quantités incomplexes, & les termes des quantités complexes qui contiennent les mêmes Lettres, font nommées femblables. 2 a b c & abc, font des quantités incomplexes femblables; 3 aab-zaab

4abb, eft une quantité complexe qui renferme deux termes femblables 3 a ab & 2 a ab; le troifiéme terme 4abb, n'a point de semblable.

9. Pour s'appercevoir plus facilement de la fimilitude des quantités algebriques, il faut toûjours écrire les premieres Lettres de l'Alphabet les premieres, & les autres dans leur ordre, c'est-à-dire, par exemple, qu'au lieu d'écrire bac, ou cab, il faut écrire abc.

10. Les nombres qui précedent les quantités

algebriques font nommés coefficiens.

Dans cette quantité a az ab+ 4bb, 3 & 4 font les coëfficiens des termes 3 ab & 4bb. L'on prend l'unité pour coefficient des quantités qui ne font précedées d'aucun nombre, & quoique l'on n'ait point accoutumé de l'écrire, on la doit néanmoins toûjours fuppofer. Ainfi, a a doit être regardée comme s'il y avoit iaa.

REDUCTION

Des quantités complexes algebriques à leurs plus fimples expreffions.

11. Il faut ajoûter les coëfficiens des termes femblables, lorfqu'ils ont le même Signe ou —, & donner à la fomme le même Signe : & lorfqu'ils ont différens Signes, il faut fouftraire les plus petits coefficiens des plus grands, & donner au refte le Signe du plus grand. Ainfi 3 ab 2 ab étant réduite, devient 5ab; 4ac + 4 ab — 6 ab devient 4ac-2ab; 34-5 a devient 2 a; 3 abc-abc, ou 3 abc-1abc, devient 2 abc. Il en eft ainfi des autres.

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Dans tous les calculs algebriques, il ne faut jamais laiffer de termes semblables fans être réduits.

ADDITION

Des quantités algebriques incomplexes & complexes. 12. Il n'y a qu'à les écrire de fuite, ou au-deffous les unes des autres, avec leurs Signes, & réduire enfuite les termes femblables, & l'on aura la fomme des quantités qu'il falloit ajoûter enfemble. Ainfi pour ajoûter 3 a bab 4 b c + 5 c d avec 2 ab-3 cd, l'on écrira 3 ab-4bc++ 5 cd + zab -3cd, qui fe réduit à 5 ab-4bc + 2 cd. Pour ajoûter 5 abc-4b c d avec 5 abd -- 8 a b c + 6 b c d 2

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