côté connu ayant à l'autre bout un angle connu, sur la base, prolongée s'il est necessaire. Et alors on trouve les termes requis par les termes connus des Triangles rectangles. Or puisque la maniere par l'invention de la perpendiculaire, qui demande trois operations au moins, est déja vulgaire, & peut être faite par les Propositions precedentes, je n'en diray mot, pour montrer comment on résoudra les Triangles sans l'invention de la perpendiculaire par le moyen de deux Propositions seulement : Et au lieu de plusieurs paroles qu'il faut pour les exprimer, je le feray plus briévement par lettres. Ceux qui desirent en avoir les démonstrations, les trouveront en la Trigonometrie Britannique d'Henry Briggs.

Pour ce faire selon les Analogies suivantes, marquez le Triangle proposé par les lettres A, B, C, sçavoir l'angle duquel la perpendiculaire doit tomber par la lettre A, l'angle connu adjacent à un côté connu par la letrre B, & le troisiéme angle par la lettre C; & où la perpendiculaire coupe la base à angles droits, mettez la lettre D. Les angles étant ainsi marquez, les côtez de chaque Triangle rectangle seront auffi

marquez.

Si les angles B & C, touchans la base BC, font aigus, la perpendiculaire tombera dans le Triangle; fi Best obtus, elle tombera dehors au delà l'angle obtus C.

Remarque.

Puis qu'il est dit que la perpendiculaire doit tomber du bout d'un côté connu ayant un angle conmu à l'autre bout, & que cela en quelque cas, comme de la 1. 4. 9. & 12. Prop, peut être fait en deux manieres : partant en la 4. & 12. Prop. nous avertiront d'où la perpendiculaire necessairement en cette rencontre doit I. PROF. Etant connus deux angles, & le côté d'entr'eux, trouver le troifiéme angle.

Remarque.

En la premiere & seconde figure, ACD est le même que ACB: mais en la troisieme, ayant trouvé ACD, il faut prendre son complement à 180 degrez, pour avoir l'angle requis A C B.

Pour montrer la facilité de calculer par ces analogies, je donneray un exemple, avec la plus brieve maniere d'operer.

Soit du premier Triangle obliquangle BAC, connu l'angle BAC 104 deg. 6. l'angle ABC 38 deg. 6. & le côté A B 30 deg. 6. on demande l'angle A C B.

I

Logarith.

2

AB 30 d. 6. Sin. comp. 9.9375306| Logarith.

ABC 38 d. 6. Tangente 9.8928098 Si.co. 9.8965321

BAD SS d. 55'Tan.com.19.8303404 0.0818525 a.c.

CAD 48 d. s'.

Sin.

..........

Sin. 9.8716414

II. PROP. Etans connus deux côtez, & l'angle oppofé à l'un des deux, trouver l'angle qu'ils comprennent.

ADA

B

DCD B

CB

CD

Si la perpendiculaire tombe dans le Triangle, la somme de BAD, CAD: si dehors, leur difference est l'angle BAC, qu'on cherche.

III. PROP. Etans connus deux angles, & le côté opposé à l'un des deux trouver le troisiéme angle : Moyennant qu'on scache s'il est aigu ou obtus: on bien que l'espece du côté opposé à l'autre angle donné foit connue.

Ainsi la Tangente de

ABC

A la Tangente du complement de

BAD

Si la perpendiculaire tombe dans le Triangle, la somme de BAD, CAD: fi dehors, leur difference est l'angle requis BA C.

IV. PROP. Etant connus deux côtez, & l'angle qu'ils comprennent: trouver quelqu'un des autres angles.

En ce cas la perpendiculaire doit necessairement tomber du côté opposé à l'angle qu'on cherche.

Remarque.

En la premiere & seconde figure, l'angle ACD est le même que ACB: mais en la troifiéme ayant trou

vé ACD, il faut prendre son complement à 180 de. V. PROP. Etans connus deux côtez, & l'angle oppo sé à l'un des deux, trouver l'angle opposé à l'autre : - Moyennant qu'on sçache s'il est aigu ou obtus. Comme le Sinus du côté opposé à l'angle connu, Au Sinus de l'angle connu; Ainsi le Sinus de l'autre côté connu, Au Sinus de l'angle requis.

VI. PROP. Etans connus les trois côtez, trouver lequel on voudra des angles.

Ajoûtez ensemble les trois côtez, & de la moitié de leur fomme soustrayez chaque côté comprenant l'angle requis, pour avoir leurs differences. Apres cela suivez ces deux analogies.

1. Comme le Sinus de quelqu'un des côtez compre

nans l'angle requis,

An Sinus de l'une des differences trouvées :

Ainsi le Sinus de l'autre difference,
A un quatriéme Sinus.

2. Comme le Sinus de l'autre côté comprenant l'an

gle requis,

Au Sinus total,

Ainsi le quatrième Sinus trouvé,

A un septiéme Sinus.

Ce septiéme Sinus étant multiplié par le Sinus total, la racine quarrée du produit fera le Sinus de la moitié de l'angle requis.

Ou plus facilement par Logarithmes, ajoûtez le Logarithme du Sinus total au septiéme Sinus Logarithmique:la moitié de la somme sera le Logarithne du Sinus de la moitié de l'angle requis.

Ou bien ajoûtez les complemens Arithmetiques des Logarithmes des Sinus des côtez comprenans l'angle requis, aux Logarithmes des Sinus des differences