و

de toutes les parties de rentes qui étoient rever-
sibles aux survivans, ce qui fait distinguer deux
sortes de Tontines, l'une simple, & l'autre com-
posée, ainsi qu'on le verra ci-après.
Déterminer la valeur des Rentes purement viageres

pour tous les áges.
Ceux qui auront bien compris ce qu'on en-
tend par vie moyenne, & le principe ou forma-
tion de la Table IV.quimontre ce qu'il faut don-
ner par an pour acquitter en tel nombre de paye-
mens égaux qu'on veut, un prêt de 100 livres
avec les intérêts, penseront d'abord qu'un Ren-
tier dont la vie moyenne seroit, par exemple,
de 10 ans, devroit recevoir une rente telle
qu'au bout de 10 ans il ne lui fût rien dû ni de
son fonds , ni des interêts, c'est-à-dire, qu'il fût
payé de son prêt, capital & intérêts, en dix
payemens égaux; parce qu'en supposant que
plusieurs Rentiers, par exemple; de l'âge de 67
ans, dont la vie moyenne est de 10 ans, prê-
tâssent chacun 100 livres pour en être payés, in-
térêts & capital, en dix payemens égaux, il arri-
veroit que ceux qui mourroientavant l'âge de 77
ans, ou pendant les dix premieres années, laisse-
roient autant de payemens ou d'années de rente

و

à recevoir , qu'en recevroient ceux qui vivroient au-delà de 77 ans. Ainsi ces gens-là pour leur prêt de 100 livres devroient recevoir 12 liv. 19 f. par an,

si les intérêts étoient comptés sur le pied du denier 20; ou bien 13 liv. 6 s. fi on comp

f toit les intérêts sur le pied du denier 18; ou enfin 13 liv. 15 f. si on partoit du denier 16, ainsi qu'on le voit par la Table IV. il en seroit de mê

. me pour les autres âges. Mais cette maniere de regler les rentes viageres, ne donneroit pas aux Rentiers tout l'avantage qu'ils doivent avoir , quoiqu'elle paroisse d'abord simple & équitable; car le débiteur devroit être censé faire valoir les rentes annuelles de ceux qui ne vivroient

le tems marqué par leurs vies moyennes depuis leurs échéances jusqu'à la fin de la vie moyenne, auquel tems un autre Rentier commenceroit à prendre sa place, parce que jusqueslà ce dernier auroit été payé de son propre fonds ou intérêt.

Voici la maniere de déterminer les rentes purement viageres, ensorte que les Rentiers ayent tout l'avantage qu'ils peuvent espérer de

pas

leur prêt.

Supposons premierement que les 560 Rentiers de l'âge de 52 ans, veuillent constituer les fonds nécessaires pour faire recevoir 100 livres par an à chacun d'entre eux qui vivront pendant cinq années seulement.

On voit par le quatrieme ordre de mortalité de la Table XIII. que si la rente de 100 livres ne devoit être payée qu'à ceux qui vivent à la fin de chaque année, les 560 Constituans de l'âge de 52 ans, n'auroient à donner que les fonds nécessaires

pour

faire recevoir 100 livres à 549 personnes à la fin de la premiere année; à 538 à la fin de la seconde année; à 526 à la fin de la

a troisieme année ; à 514 à la fin de la quatrieme année ; & enfin à so2 à la fin de la cinquieme année. Mais ceux qui meurent dans le courant de chaque année, doivent recevoir une partie de rente proportionnée au tems qu'ils ont vécu dans le courant des années où ils sont morts; or les uns meurent au commencement de l'année, d'autres au milieu, & les autres à la fin. On peut donc supposer qu'ils meurent tous au milieu de l'année , ou bien (ce qui revient au même) supposer que la moitié meurt au commencement de l'année , & l'autre moitié à la fin; ainsi les 560 Rentiers de l'âge de 52 ans, doivent constituer les fonds nécessaires pour faire recevoir 100-livres à 554 personnes à la fin de la premiere

année,

*

à 543 personnes à la fin de la seconde année, à 532 à la fin de la troisieme année, à 520 à la fin de la quatrieme année, & enfin à

à 508 à la fin de la cinquieme année.

Supposons qu'on veuille compter les intérêts sur le pied du denier 20, on voit , Table II. que pour qu'il soit dû 100 livres au bout d'un an, il faut prêter 95 liv. 4 s. 9 d. que pour qu'il soit dû 100 livres au bout de deux ans, il faut prêter 90 liv. 14f. 1 d. &c. Prenez donc les cinq premiers prêts , & les multipliez avec ordre par les cinq nombres de Rentiers qui doivent recevoir chacun 100 livres au bout d'un, de deux, ou de trois ans, &c. ainsi qu'il suit :

554x95 liv.4 1. 9 d...52761 liv. 1 1 f.6 d. 543 * 90 14

49252 7 3 7 8 45955

18 8 42780

16 8 508x78 7 1... 39803 18

4

230554 Ajoutez les cinq produits ensemble pour avoir la somme 230554 liv. 12 l. 5 d. qui est le

. fonds que doivent fournir ensemble les 560 Rentiers de l'âge de 52 ans afin

que tous ceux d'entre eux qui vivront, puissent recevoir 100 ** On néglige les fractions en faveur des Renciers.

Х

I

532 x 86 520 x 82

Х

. ک ک

Х

125

I

I

livres à la fin de chaque année, pendant cinq ans seulement; & divisant la somme ci-dessus 230554 liv. 12 f. 5 d. par les 560 Rentiers

. constituans, le quotient 411 liv. 14 f. 1 d. est la part que chacun d'entre eux doit fournir.

Il est maintenant aisé de voir que si au lieu de ne vouloir la rente que pour cinq ans, comme ci-devant, on la vouloit pour tout le tems qu'il y aura quelque Rentier vivant, il faudroit prendre les prêts suivans de la Table II.

74 liv. 12 f. 5 d. Sçavoir, 71 4

67
Et les multiplier avec ordre par

les nombres de Rentiers qui doivent recevoir la rente à la fin de la sixieme , de la septieme, de la huitieme années, &c. sçavoir, 495, 482, 469, &c. jufqu'au dernier Rentier vivant. Ayant fait toutes les multiplications, on ajoutera, comme ci-dessus , tous les produits ensemble; & on en divisera la somme par les 560 Rentiers constituans: le quotient sera ce qu'une personne de l'âge de 52 ans doit fournir pour avoir 100 livres de rente viagere. Il en est de même pour tous les autres âges.

C'est par cette méthode, qu'on a formé la Ta

13 8, &c.