:

1019449, dont on n'a pas pris la différence, le troisieme : & trouvez le quatrieme , ainsi qu'il fuit.

100000 : 31439 :: 1019449 : 320504.
Ajoutez à ce quatrieme terme 320504,

le nombre 914150, dont on a pris la différence avec son précédent , la somme 1234654, est ce qu'il faut prêter actuellement pour recevoir 100000 livres par an pendant 36 ans.

Pour entendre la raison sur laquelle cette méthode eft fondée l'on doit faire attention

que

la différence 31439, est ce qu'il faudroit prêter pour recevoir 100000 livres au bout de 16 ans, puisque le nombre 882711 livres fait recevoir 100000 livres par an pendant 15 ans, , &

que 914150 livres les fait recevoir pendant 16 ans : donc puisque la somme 31439 est devenue 100000 livres au bout de 16 ans, y compris le capital, les intérêts, & les intérêts des intérêts ; au bout du même tems , le quatrieme terme 320504, sera devenu 1019449 livres , qui est alors suffisant pour faire recevoir 100000 livres par an pendant 20 ans: mais au quatrieme terme 320504, on a ajouté le prêt 914150 qui fait recevoir 100000 livres par an pendant les 16 premieres années, tandis qu'on ne touche rien

оп

ar

sur le prêt ou portion 320504 livres, afin qu'il se trouve alors suffisant pour faire recevoir 100000 livres pendant les 20 autres années qui manquent jusqu'à 36 ans.

PROBLEME I V. Connoissant un prêt p qu'on veut acquitter , capital & intérêt, dans un tems donné, o en autant de

payemens égaux r , un à la fin de chaque année , trouver la valeur des payemens.

Nous avons vu au troisieme Problême que pour recevoir r à la fin de chaque année pendant un tems donné, l'on avoit p=ato, si on vouloit recevoir r une fois; p=3a+2ab+bb

r ; vouloit recevoir r deux fois; p=5+3aab:+3abb+b} , si on vouloit recevoir q trois fois , &c. Là on connoissoit la valeur des payemens égaux r , & l'on cherchoit le prêt p qui devoit les procurer; ici on connoît le prêt p, & on demande la valeur des payemens égaux r. En inversant les formules précédentes , l'on aura r=

ap+bp

pour payer en un seul payement; r=

aap+ 2 abp+bbp pour payer

deux payemens égaux ; a3 p+3 aabp +3 ab bp +63P

pour payer en trois payemens égaux, &c. Décomposant une de ces va

2 a artabr

si on

3a'r+zaabr+abbr

200 tab

en

P

Х

leurs, par exemple, la derniere , l'on a

a3 + 3 a ab+3 abb+63
3 aat 3 abtbb

R E G L E.
Ce qui montre que pour avoir la valeur des
payemens, il faut élever le denier de l'inté-
rêt a, & le denier de l'intérêt avec l'intérêt
a+b, à autant de degrés qu'il doit

y avoir de payemens; multiplier le prêt p par la puissance du denier de l'intérêt avec l'intérêt a+b, & diviser ce produit par celui qu'on fera en multipliant le denier de l'intérêt a par le

quotient qu'on a en divisant par l'intérêt b la différence des puissances de a & de a+b. Car on doit remarquer, comme ci-devant, que le dénominateur 3 aa + 3 ab+bb de la derniere fraction, est le quotient que donne la différence 3 aab+3 abb+b des troisiemes puissances de a & de a+b, en la divisant

par

b. E X E M P L E. Soit le denier de l'intérêt a=20, l'intérêt b=1, le prêt p=100 liv.; & l'on veut payer intérêt & capital en quatre payemens égaux.

Faites les quatriemes puissances de a=20,& de a+b=21; vous aureza*=160000 & a+6* = = 194481: multipliez cette derniere puissance par le prêt p=100, pour avoir le dividende

a=

20; le

19448100;ôtez 160000 de 194481, pour avoir le reste 34481 , qu'il faut diviser

par

l'intérêt, mais parce que b= 1 le reste 34481 est lui-mê

1 me le quotient : multipliez-le par a= produit 689620, est le diviseur par lequel divisant le produit ci-dessus 19448100, l'on aura pour quotient 28 liv. 4 s. o d. qui est la valeur de chacun des quatre payemens égaux. C'est par ce principe, qu’on a calculé la

quatrieme Table ; elle montre la valeur des payemens égaux selon le nombre qu'il doit y en avoir pour acquitter un prêt de 100 livres. Ainsi celui qui prête 100 livres , & qui veut en être payé capital & intérêt en cinq payemens égaux, doit recevoir 23 liv. 2 s. o d. à la fin de chaque année, si les intérêts sont comptés sur le pied du denier 20; s'il vouloit être payé en dix payemens égaux, les intérêts sur le pied du denier 16, il devroit recevoir à la fin de chaque année 13 liv, 15 f.o d.& ainsi des autres.

On trouve dans la Table tel nombre de payemens égaux qu'on veut, depuis 1 jusqu'à 50, d'année en année, après quoi ils ne sont plus que de cinq en cinq ans jusqu'à 100 ans; ceux qui voudront les avoir d'année en année, il leur sera facile par le moyen des différences.

Les

2

Les personnes qui ont de la peine à saisir le vrai d'un principe, diront, suivant l'exemple cidessus , que celui qui auroit prêté 100 livres , ne se trouveroit que 12 livres 16 f. de bénéfice au bout des quatre ans , n'ayant reçu que quatre fois 28 liv. 4 f. & que ioo livres au bout de quatre

. ans , devroient avoir rapporté 20 livres. Mais qu'on fasse attention que le prêteur reçoit une partie de son capital à la fin de la premiere année, & que le débiteur ne doit plus payer aucun intérêt pour cette partie pendant les trois autres années. Il en est de même des parties du capital que le prêteur reçoit à la fin de la seconde & de la troisieme année. Le détail suivant le fera peut-être mieux entendre. 100 liv. of. od. Fonds qui travaille pendant la premiere année.

Intérêts dås à la fin de la premiere année.
Somme due à la fin de la premiere année.
Premier payement.
Reste ou fonds qui travaille pendant la seconde année.
Intérêts dûs à la fin de la seconde année.
Somme due à la fin de la seconde année.
Second payement.
Reste ou fonds qui travaille pendant la troisieme année.
Intérêts dûs à la fin de la troisieme année.
Somme due à la fin de la troisieme année.
Troisieme payement.
Reste ou fonds qui travaille pendant la quatrieme année.
Intérêts dûs à la fin de la quatrieme année.
Somme due à la fin de la quatrieme année, qui fait juste ce

qu'il faut pour le quatrieme payement.
Si on veut acquitter une autre somme quel-

D

IOS 28 76

16

16 9

3 80 28

I2

9

4 8

52

9

2

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1

2

28

4