livres, payable dans un an, les intérêts sur le pied du denier 20 : le Banquier répond qu'il lui faut 95 livres; au lieu qu'on voit par la seconde Table, qu'il devroit demander 95 livres 4 f. 9 d. ce qui fait que le Banquier paye les intérêts sur le pied du denier 19, au lieu du denier 20, selon lequel il compte les payer.

On m'objectera que c'est un usage reçu parmi les Financiers, Banquiers, &c. & que ce qu'ils perdent d'un côté en empruntant de cette maniere, ils le regagnent d'un autre en prêtant de même. Cela n'en est pas moins un usage établi par l'ignorance ou le manque d'attention. L'intention du Banquier est d'emprunter sur le pied du denier 20; car si on lui porte 100 livres, & qu'on lui demande un billet du capital avec les intérêts ensemble, payable dans un an, le Banquier fait le billet de 105 livres; & fi on lui demandoit de compter les intérêts sur le pied du denier 19, il ne le feroit pas. C'est donc un usage ridicule & mal fondé, puisqu'il fait payer les intérêts sur le pied du denier 19, lorsqu'on demande que le billet soit de 100 livres, ou d'un nombre de fois 100 livres; & que dans tout autre cas il ne les fait payer que sur le pied du denier 20.

PROBLEME III.

Connoissant une Renter qu'on veut recevoir à la fin de chaque année pendant un tems donné; trouver la Somme p qu'il faut prêter actuellement.

On vient de voir au Problême II. que pour recevoir r au bout d'un an, il falloit donner ac

a

ar

aar

tuellement ; que pour recevoir r au bout de deux ans, il falloit donner actuellement a+b; que pour recevoir r au bout de trois ans, il falloit

a3r

aa+2ab+bb

prêter actuellement

a3+3aab+3abb+b3•

Celui qui

veut recevoir r à la fin de chaque année pendant quelque tems, doit donc fournir autant des prêts ci-dessus. Ainsi celui qui veut recevoir r pendant deux ans, doit fournir les deux premiers prêts

ar

a+b

aar

ar

aar

& ++; celui qui veut recevoir r pendant trois ans, doit fournir les trois premiers prêts a+b aa+2ab+bb & 3+3ab+3abb + b3 &c. Si on fait

a3r

Ies additions des prêts ci-dessus, c'est-à-dire, des

deux premiers, des trois premiers, des quatre premiers, &c. après avoir fait les réductions nécessaires, on aura p= pour recevoirr une

ar

zaar+abr

fois; p= =aa+2ab+bb pour recevoir r

deux fois ;

3 a3+3aabr+abbr

p=a+zaab+3abb+b pour recevoir r trois fois,

3aa+3ab+66

za3+3aabr+abbr

&c. Or qu'on décompose un de ces résultats, par exemple, le dernier, p= b; on aura p=arxa3+3aab+3ab6+63 : & l'on remarquera que le numérateur 3 aa+3ab+bb de la fraction qui multiplie ar, est le quotient qui vient en divisant par b la différence 3 a ab+3abb+b2, des troisiemes puissances de a & a+b; fi c'étoit pour quatre ans, ce seroit la différence des quatriemes puissances de a & a+b; fi c'est pour deux ans, c'est la différence des secondes puiffances de a & a+b, & ainsi des autres.

REGLE.

Ce qui montre que pour trouver ce qu'on doit prêter actuellement pour recevoir r pendant un nombre d'années quelconques, il faut élever a (denier de l'intérêt) & a+b (denier de l'intérêt avec l'intérêt) à autant de degrés qu'il y a d'années; ôter la puissance du denier de l'intérêt simple a, de celle du denier de l'intérêt avec l'intérêt a+b, & diviser le reste par l'intérêt b; multiplier le quotient par ar produit du denier de l'intérêt par la somme qu'on veut recevoir tous les ans, & diviser le produit par la puissance de a+b, le quotient sera ce qu'on doit prêter pour recevoir r pendant le nombre d'années donné.

B iij

EXEMPLE.

Soit la somme qu'on veut recevoir par an r= 100, le denier de l'intérêt a= 16, & l'intérêt b=1; & l'on demande ce qu'il faut prêter pour recevoir 100 livres par an, pendant quatre ans.

Faites les quatriemes puissances de a=16 & de a+b=17, qui font 65536 & 83521; ôtez la premiere de la seconde pour avoir le reste 17985, qu'il faut diviser par l'intérêt b; mais parce que b= 1, lereste 17985 est lui-même le quotient: il faut le multiplier par ar=1600, produit du denier de l'intérêt 16 par la somme 100, qu'on veut recevoir annuellement; on aura pour produit 28776000, que l'on divisera par 83521, quatrieme puissance de a+b=17; le quotient 344 liv. 10 f. 9 d. est ce qu'on doit prêter actuellement pour recevoir 100 livres par an pendant les quatre années.

AUTRE EXEMPLE.

Soit la somme qu'on veut recevoir par an r=100000 livres, le denier de l'intérêt a=100, & l'intérêt b=7; & l'on demande ce qu'il faut prêter pour recevoir 100000 livres par an pendant trois ans.

Faites les troisiemes puissances de a = 100, & de a+b=107, vous aurez a' = 1000000, & a+b=1225043: ôtez la premiere 1000000 de la seconde 1225043, pour avoir le reste 225043, que vous diviserez par 7=b; le quotient sera 32149, que vous multiplierez par ar=10000000; & vous diviserez le produit 321490000000 par 1225043, troisieme puiffance de a+b=107; le quotient 262431, eft ce qu'il faut prêter actuellement pour recevoir 100000 livres par an pendant les trois années, les intérêts étant comptés à 7 pour 100.

On abregera de beaucoup le calcul, si l'on opere par les logarithmes : ce que j'en ai dit aux deux Problêmes précédens, fuffit pour ceux qui connoissent les admirables propriétés de ces nombres; & ce n'est pas ici le lieu de m'étendre suffisamment pour ceux qui n'en sçavent pas les usages: ceux qui voudront les connoître, pourront voir ce que j'en ai dit dans mon Traité de Trigonométrie, ou dans les autres Livres qui en traitent.

La premiere page de la troisieme Table montre ce qu'il faut prêter actuellement pour recevoir 100 livres par an, pendant tel nombre d'années qu'on voudra qui n'excede pas 100 ans,