PROBLÈME II. Si deux nombres différens sont divisibles par un même nombre, leur différence ou leur somme est aussi divisible par ce même nombre. Soient les nombres 15 et 25, qui sont tous deux divisibles par 5; leur différence 10, et leur somme 40, est aussi divisible par 5. Soient les nombres 49 et 63, qui sont tous deux divisibles par 7, leur différence 14, et leur somme 112, est aussi divisible par 7. PROBLÈME III. considérés Les nombres qui sont divisibles par 3, seuls, additionnés ensemble ou multipliés l'un par l'autre, donnent, pour la somme, des figures dont leurs totaux ou produits sont composés des nombres divisibles par 3. Soit le nombre 42, qui est divisible par 31, la somme 4 et 2 des figures dont il est composé est 6, qui lui-même est divisible par 3. Soient les nombres 15 et 21, dont le total est 36, la somme des figures 3 et 6 dont il est composé est également divisible par 3. Soient enfin les nombres 9 et 12, dont le produit de la multiplication est 108; la somme des figures 108 est 9, qui est divisible par 3. COROLLAIRE. Il suit de cette propriété, que tout nombre dont la somme des figures est divisible par 3; est nécessairement lui-même divisible par 3. est 9, PROBLÊ ME I V. Si la somme quelconque des figures d'un nombre ou qu'elle soit divisible par 9, ce nombre est lui-même divisible par 9 et par 3, lorsque la derniere figure de cette somme est un nombre impair; s'il est pair, cette somme est en outre divisible par 6. Soit le nombre 81, dont la somme des figures 8 et 1 est 9, et finit par le nombre impair 1; ce nombre 81 est divisible par 3 et par 9. Soit le nombre 765, dont la somme des figures est 18, et finit par le nombre impair 5; ce nombre 765 est aussi divisible par 3 et par 9. Soit le nombre 198, dont la somme des figures est 9, et finit par le nombre pair 8; ce nombre 108 est divisible par 3, 6 et 9. Soit le nombre 774, dont la somme des figures est 18, et finit par le nombre 4; ce nombre 774 est divisible par 3,6 et 9. est 9, COROLLAIRE. Il suit de cette propriété, que toutes les fois que la somme des figures d'un nombre quelconque ou divisible par 9, si cette somme finit par un nombre impair, elle est divisible par 3 et 9: si elle finit par un nombre pair, il est en outre divisible par 6. Nota. Le zéro est considéré dans cette propriété comme un nombre pair. REMARQUE. par Lorsqu'un des nombres ci-dessus est formé trois figures dont la somme est 9, il y a deux figures de nombre pair, ou toutes les figures sont impaires, et si la derniere est un chiffre pair, il est alors divisible par 18. Si le nombre est formé de maniere que la somme des figures forme 18, 36,72, &c. et que la derniere soit un nombre pair, il est divisible par 18. Si dans les deux suppositions ci-dessus l'on ajoute à ces nombres un zéro après l'unité, ce nouveau nombre sera divisible par 180, et par toutes ses parties aliquotes; savoir, 90, , 90, 60, 45, 30, 20, 15, 12, 9, 6, 3, 2, 1. Si la figure qui précede le zéro, qu'on suppose toujours mis à la place de l'unité, est un nombre impair, le nombre ne sera pas divisible par 180, mais seulement par les parties aliquotes de 180. Toutes les fois qu'un nombre quelconque est multiplié par 9, ou par un nombre divisible par 9, la somme des figures du produit est le nombre 9, ou un nombre divisible par 9. Lorsque deux nombres divisibles par 9, sont additionnés ensemble, ou multipliés l'un parl 'au la somme des figures de leur addition ou de leur produit est toujours le nombre un nombre divisible par 9. оц Cette propriété particuliere au nombre 9, vient de ce que celui qui excede 9, s'exprime par i et o, et que deux fois 9 font 10 et 8, trois fois 9 font 20 et 7, &c. les dixaines et les unités étant réciproquement et successivement complémens de 9. PROBLEME V. Propriété particuliere du nombre 37. Le nombre 37 est tel, qu'étant multiplié par chacun des nombres de la progression arithmétique 3. 6. 9. 12. 15. 18. 21. 24 et 27, tous les produits qui en résultent sont composés de 3 chiffres semblables, et la somme de leur figure est toujours égale au nombre par lequel on a multiplié 37. EXEMPLE. 37 37 37 37 37 37 37 37 37 3 6 9 12 IS 18 21 24 27 222 333 444 555 666 777 888 999 PROBLÉME V I. III Propriété du nombre 73. Le nombre 73 est tel, qu'étant multiplié par les nombres de la progression arithmétique 3. 6. 9. 12. 15. 18. 21. 24 et 27, les six produits qui résultent de cette multiplication se terminent par un des neuf chiffres différens 1. 2. 3. 4. 5. 7. 8 et 9, et ces chiffres se trouvent dans un ordre renversé eu égard à celui de cette progression. EXEMPLE. 73 73 73 73 73 73 73 73 73 3 6 9 12 IS 18 21 24 27 219 438 657 876 1095 1314 1533 1752 1971 Il est à remarquer que la somme des figures du total de chacun de ces produits, est encore égale aux nombres de la progression, en prenant la somme des deux premieres figures, lorsque le nombre est composé de quatre chiffres. DES NOMBRES PREMIERS. Les nombres premiers sont ceux qui ne sont divisibles que par l'unité, tels sont 2. 3. 5. 7. II. 13. 19. 23, &c. La derniere figure, qui dans ces nombres se trouve à la place de l'unité, ne peut jamais être un nombre pair, ni un zéro; c'est au contraire toujours une figure exprimant un nombre impair, excepté cependant la figure 5, qui ne peut jamais s'y rencontrer; d'où il suit que tous ceux qui ne se terminent pas par 1. 3. 7. ou 9. ne peuvent être des nombres premiers. Il suit encore de ce qui a été dit ci-devant au sujet de la propriété du nombre 3, que tout ⚫ nombre dont la somme des figures est divisible par trois, ne peut jamais être un nombre premier, |