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Je dis en fecond lieu que le Logarithme de 6 eft le tiers du Logarithme de fon cube 216. Car puifque 216 eft le produit de 6 & de fon quarré 36, fon Logarithme fera (par 1) égal à la fomme des Logarithmes de 6 & de 36, c'eft-à-dire, au triple du Logarithme de 6, parce que le Logarithme de 36 a été démontré double du Logarithme de 6. D'où il fuit que le Logarithme de 6, n'est que le tiers du Logarithme de fon cube 216. Ce qui reftoit à démontrer.

PROPOSITION V I.

Trouver entre deux nombres donnés un moyen Géométrique proportionnel,

SI on multiplie ensemble les deux nombres donnés, on aura (par 20. 7) le quarré du moyen; c'eft pourquoi fi on prend la racine quarrée de ce produit, on aura le moyen qu'on cherche. D'où il fuit que fi l'un des deux nombres donnés eft l'unité, il n'y a qu'à prendre la racine quarrée de l'autre, pour avoir le moyen proportionel qu'on demande.

PROPOSITION VII.

Entre deux nombres donnés, trouver un moyen proportionnel Arithmétique.

SI on ajoute ensemble les deux nombres donnés, on aura (par la 2) le double du moyen ; c'eft pourquoi fi on prend la moitié de cette fomme, on aura le moyen qu'on cherche. D'où il fuit que quand l'un des deux nombres donnés eft o, il n'y a qu'à prendre la moitié de l'autre, pour avoir le moyen

PROPOSITION VIII.

Trouver le Logarithme d'un nombre propofé. POUR trouver le Logarithme d'un nombre donné, comme de 9, qui eft entre 1 & 10, dont on connoît les Logarithmes o. 0000000, 1.

0000000; ou 0. 00000000, I. 00000000,

(en les augmentant chacun d'un zéro, pour avoir plus exactement le Logarithme qu'on cherche, à caufe des fractions qui reftent après la derniere figure) augmentez auffi les deux nombres I, 10, & tous les autres de la progreffion Géométrique, d'autant de zéros que leurs Logarithmes en contiennent, comme ici de fept zéros, pour avoir exactement dans le même nombre de figures le Logarithme du nombre propofé 9, qui alors vaudra autant que 9. ooooooo, comme I, yaut autant que 1.0000000, que nous appellerons A; & 10, autant que 10. Ooooooo, que nous appellerons B: après cela il faudra procéder ainfi ;

Cherchez (par la 6) entre A & B un moyen Géométrique proportionnel C, qui eft moindre que le nombre propofé 9. 0000000; c'est pourquoi, pour approcher davantage de ce nombre 9, il faudra chercher entre les deux proches B & C, un fecond moyen proportionnel D. Ce nombre étant encore moindre que le nombre propofé 9. 0000000, & plus proche que le nombre trouvé C, on cherchera entre ce plus proche C, & le plus grand B, un troifiéme moyen proportionnel D, qui eft encore moindre que le nombre propofé 9. ooooooo; c'eft pourquoi l'on cherchera entre ce plus proche D & le plus grand B, un quatrième

Nomb. Propert. Logarithm.

1.0000000 0.00000000 3.1622777 0.50000000 В 10.0000000 1.00000000

10.0000000 1.00000000

5.6234132 0.75000000

C 3.1622777 0.50000000

B 10.0000000 1.00000000 7.4989421 0.87500000 5.6234132 0.75000000

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B 10.0000000 1.00000000 8.6596432 0.93750000 7.4989421 0.87500000

B 10.0000000 1.00000000 G 9.3057204 0.96875000 8.6596432 0.93750000

G 9.3057204 0.96875000 н 8.9768713 0.95312500 8.6596432 0.93750000

G 9.3057204 0.96875000 I 9.1398170 0.96093750 8.9768713 0.95312500 9.1398170 0.96093750 9.0579777 0.95703125 8.9768713 0.95312500 9.0579777 0.95703125 9.0173333 0.95507812 8.9768713 0.95312500 L 9.0173333 0.95507812 8.9970796 0.95410156

IKH KLH

M

Н

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8.97687130.95312500

9.0173333 0.95507812 9.0072008 0.95458984 8.9970796 0.95410156

9.007 2008 0.95458984 9.0021388 0.95434570) 8.9970795 0.95410156

9.0021388 0.95434570] 8.9996088 0.95422363) 8.9970796 0.95410156

Nomb. Proport. Logarithm.

O 1.5021388 0.95434570 Q9.0008737 0.95428467 P 3.9996088 0.95422363

Q.00087370.95428467 R.00024120.95425415 P.99960880.95422363

S

R 9.00024120.95425415)
8.9999250 0.95423889
P 8.9996088 0.95422363
R 9.00024120.95425415
T 9.0000831 0.95424652
S 8.99992500.95423889

T.0000831 0.95424652
V 9.00000410.95424271
S 8.99992500.95423889
V 9.0000041 0.95424271
X 8.9999650 0.9542408
S 8.99992500.95423889
V 9.0000041|0.95424271
Y 8.9999845 0.95424217
X 8.99996500.95424080
V 9.0000041 0.95424271
Z 8.9999943 0.95424223
Y 8.9999845 0.95424217

V 9.0000041 0.95424271 & 3.9999992 0.95424247 Z3.9999943 0.95424223

V 9.0000041 0.95424271 AA9.0000016 3.95424259 & 8. .9999992 0.95424247

AA 9.0000016 0.95424259 BB 9.0000004 0.95424253 & 8.9999992 0.95424247

BB.0000004 0.95424253 CC 8.9999998 0.95424250 & 8.9999992 0.95424247

B B 9.0000004 .95424253 DD.0000000 0.95424251 CCB3.9999998 0.95424250

que le propofé 9. 0000000; on cherchera donc de nouveau entre ce prochainement moindre E, & le plus grand B, un quatriéme moyen proportionnel F, lequel quoique moindre que 9.0000000, en approche plus que le précédent D. On cherchera, par cette raifon, entre ce prochainement moindre F, & le plus grand B, un cinquiéme moyen proportionnel G, qui fe rencontrant ici plus grand que 9. ooooooo, on doit chercher. entre ce plus grand G, & le plus petit F, un fixié me moyen proportionnel H, qui eft bien moindre que 9. 0000000, mais non pas avec une fi grande différence que F. Ainfi entre ce prochainement moindre H, & le prochainement plus grand G, on doit chercher un feptiéme moyen proportionnel I, qui eft plus grand que 9. 0000000, mais non pas avec un fi grand excès que G ; c'eft pourquoi entre ce prochainement plus grand I, & le prochainement moindre H, il faut chercher un huitiéme moyen proportionnel K, lequel quoique plus grand que 9. 0000000, en approche encore davantage que le précédent I. Ainfi en continuant à chercher entre le prochainement plus grand des moyens Géométriques proportionnels, on aura des nombres qui approcheront toujours de plus en plus du nombre propofé 9. 0000000, lequel enfin fe trouve ici le vingt-fixiéme moyen Géométrique proportionnel, dont le Logarithme fera connu fans peine; car comme entre les nombres A, B, on a trouvé un moyen proportionnel Géométrique C, fi entre les Logarithmes des mêmes nombres A, B, on cherche (par la 7) un moyen proportionnel. Arithmétique, on aura le Logarithme du moyen proportionnel Géométrique C. C'eft de la même

métriques proportionnels fe découvriront, & par conféquent le Logarithme du dernier 9. 0000000, ou du nombre propofé 9, dont le Logarithme fe trouve tel, o. 95424251, ou o. 9542425, en retranchant la derniere figure 1, vers la droite, à caufe du zéro de furplus que nous avons ajouté au

commencement.

On trouvera de la même façon les Logarithmes des autres nombres entre 1 & 10, & des nombres entre 10 & 100, & pareillement des nombres entre 100 & 1000, & ainfi de fuite. Mais cette Méthode ne fe doit appliquer qu'aux nombres premiers, c'eft-à-dire, qu'aux nombres qui ne font pas divifibles par d'autres; car quand ils font compofés, & que l'on connoît les Logarithmes des deux nombres qui le produifent par leur multiplication, il eft évident (par la 3) que la fomme de ces deux Logarithmes, fera les Logarithmes du nombre compofé. Ainfi ayant trouvé le Logarithme de 9, le double de ce Logarithme fera le Logarithme de 81, quarré de 9; & la moitié du même Logarithme fera le Logarithme de 3, racine quarrée de 9; ainfi des autres. Nous allons parler plus particu-, liérement des Logarithmes dans l'article fuivant.

REMARQUE.

Les Géométres ont actuellement des méthodes pour calculer les Logarithmes à moins de frais. Mais il a fallu que les premiers Calculateurs de ces nombres ayent dévoré toute l'horreur d'un grand nombre d'opérations femblables à celles que nous venons de décrire. Que ne leur doit-on pas pour avoir eu un courage fi héroïque ? L'inventeur des . Logarithmes eft un Baron Ecoffois, nommé Neper qui les propofa vers l'année 1620. Enfuite.

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