à l'Ellipfe, & qu'ils en font tous deux délivrez dans l'é quation au cercle. En effet le cercle peut être regardé comme une Ellipfe dont les foyers font confondus avec le & dont tous les diametres font par conféquent égaux entr'eux, & à leurs parametres.

centre,

Dans l'équation au cercle aa → xx ➡yy, les coordonnées ont leur origine au centre, & dans celle-ci, zax -xxyy, l'origine des coordonnées n'eft point au

centre,

Li

PROPOSITION IL

Theorême..

ES mêmes chofes que dans la première Propofition FIG. 58. étant fuppofees. Je dis que l'appliquée FO au foyer Ƒ est égale à la moitié du parametre de l'axe AB.

=c(CF), le point P tombera en F, & PM deviendra

d'où l'on tire y = aa

сс

7.D.

(Prop. 1.1(no. 6. ) i p. C. Q. F.

.16.LES deux axes conjuguez AB, DE d'une Ellipfe étant donnez, trouver les foyers F, & G.

Soit du centre D, extrémité de l'axe conjugué DE, & du rayon AC, décrit un cercle qui coupera AB en deux points F&G qui feront les foyers qu'il faloit trouver,

Nij

Bayerische
Staatsbibliothek

München

DE'MONSTRATION.

PAR la construction FD + DG=AB ; donc ( no. 2. )
F & G font les foyers. C. Q. F. D.

PROPOSITION IV.

Problême.

FIG. 58. 17. LE grand axe AB d'une Ellipfe & les foyers F & G étant donnez, determiner l'axe conjugué à l'axe AB.

Soit du foyer F pour centre & pour rayon le demi axe AC décrit un cercle. Il coupera la perpendiculaire à A B menée par le centre C en deux points D & E, & DE fera l'axe conjugué à l'axe A B.

DE'MONSTRATION,

ELLE eft la même que celle de la Propofition précé

dente.

PROPOSITION V.

Theorême.

FIG. 58. 18. SI l'on fait MQ perpendiculaire à D E. Je dis que le rectangle des deux parties DQ, QE de l'axe DE faites par l'appliquée MQ, eft au quarré de MQ: comme DE' quarré de l'axe DE à AB quarré de l'axe A B.

En laiffant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a donnez dans la premiere Propofition, CP, où QM étant x; & PM, ou CQ,y; DQ fera', b—y ; & QE,bay. Il faut démontrer que bb-yy, xx :: 4bb. 4aa,

aa

DE'MONSTRATION.

EN reprenant l'équation de la premiére Propofition aa xx = 47, la multipliant par bb, la divifant par aa & transposant l'on aura bby bbxx, d'où l'on tire cette

analogie bbyy. xx:: bb. aa :: 4bb. 4aa. DQ × QE. QM':: DE'. AB'. C. Q. F. D.

DEFINITIO N.

19.SI l'on fait 26. 2a :: 2a. 244 que je nomme p; =p eft appellée le parametre de l'axe DE.

bb

COROLLAIRE.

la ligne

20. b. a:: 2a. p, donne bp = 2aa ou bbp = = zaab ou ; c'eft pourquoi fi on met 2 en la place de b 26 = dans l'équation précedente, l'on aura bb

-

26xx

= yy P

ou fi l'on fait m = 4, l'on aura bb — yy — mxx .

n

On ajoutera à ce Corollaire les raifonnemens que l'on a faits no. 9, 10, 11, 12, 13 & 14.

PROPOSITION V I.

Problême.

суу

d

21.UN E équation à l'Ellipse ab — xx= étant don née, décrire l'Ellipfe lorfque les coordonnées font un angle droit.

Soit premierement trouvé une moyenne proportionnelle entre a, & b qui foit f; & par conféquent f = ab`; ab`; ainfi l'équation sera ff — xx 2. On fait ce changement parceque ab étant l'expreffion du quarré du demi diametre dont les parties font nommées x, cette expreffion doit auffi être un quarré.

Soit préfentement C, l'origine des inconnues x, qui FIG. 58. va vers A & vers B, & y, qui va vers D & vers E. Le même point C doit auffi être le centre de l'Ellipfe, puifque les inconnues x & y n'ont point de fecond terme dans l'équation. Soit fait CA & CB chacune=f; AB fera le grand axe, fi c furpaffe d, le petit, fi c eft moindre que d. Pour avoir l'axe conjugué à l'axe AB,

il

soit fait c. d :: ff. ff, & foit prise CD & CE chacune
égale à Vaff. Pour trouver CD=CE=√ff=n;
faut chercher une moyenne proportionnelle entre c & d,
qui fera nommée g : puis trouver à ces trois grandeurs c.
g. f. une quatriême proportionnelle qui fera n = √
Car puifque c. g. d. font en proportion continue, c. d ::
cc. gg; mais ayant encore c. g::f. n. on aura cc. gg ff. nn.
donc c. d :: ff. nn. = dff, & par conféquent n = vdff
DE sera (no, 12.) l'axe cherché, Ayant enfuite trouvé
les foyers F & G par la troifiême Propofition, on dé-
crira l'Ellipse par la premiere.

DEMONSTRATION.

ELLE eft évidente par ce que l'on a démontré no. 12.
Prop. 1. & 3.

PROPOSITION VII.

Problême.

FIG. 62. XIII. UNE Ellipfe ADBE, dont AB eft le grand axe ; C, le centre; F & G, les fayers, étant donnée. Il faut d'un point quelconque M donné fur l'Ellipfe mener la tangente MT.

Ayant mené FM, & GM, prolongé FM, en I, en forte que MI MG, & mené GI. Je dis que la ligne MO menée du point M par le point O milieu de GI sera la tangente cherchée.

DE'MONSTRATION.

D'UN point quelconque Z autre que M pris fur MO, ayant mené les droites LF, LG, LI, puifque par la conftruction MG=MI,& 10=OG, MO fera perpendiculaire à GI; c'est pourquoi le triangle GLI fera ifofcele; & partant FL+LI=LF + LG furpaffe FM+ MI FM+MG; donc le point Z eft hors de l'Ellipfe. C. Q. F. D.