ccaa, mettant donc cette valeur de bb dans

bbcc

l'équation C, l'on a yy

yy

=

CCXX- аaxx aacc +a+

a a

& mettant

cette valeur de dans les deux équations A, & B, l'on aura après les réductions & extractions de racines, cx —. aa= az, & cx + aa = = af; donc cx — aa. cx +aa:: az af:: Z. S. C. Q. F. D.

COROLLA I RE

36. D'où l'on voit que fi l'un des points F, ou G étoit un point lumineux, les prolongemens des rayons réfléchis à la rencontre de l'Hyperbole fe réuniroient à l'autre point G ou F.

DEFINITION.

37. Les points F & G font appellez les foyers de l'Hyper

bole.

Es

SECTION VIII.

Où l'on donne la méthode de réfoudre les Problêmes indéterminez du premier & du fecond degré c'est-à-dire, de conftruire les équations à la ligne droite, & aux quatre courbes du premier genre,, qui font le Cercle, la Parabole, l'Ellipfe & l'Hy perbole.

XV.

L

METHOD E.

'ON a vû dans les Sections précédentes 10. Que les équations indéterminées, ou les lettres-inconnues qui ne font multipliées ni par elles-mêmes ni entr'elles, appartiennent à la ligne droite, & que lorsque ces équations n'ont que deux termes, comme celle-ci bx, ou x = y; les inconnues x &y ont leur origine: au point d'interfection de deux lignes droites, dont l'une renferme tous les points qui fatisfont au Problême, & l'autre, tous les points d'où menant des lignes paralleles à quelque ligne donnée, & terminées par la premiere, la conftruction du Problême fe trouve faite.

ay=

2°. Que lorsqu'une équation à la parabole n'a que deux termes, l'un defquels eft le quarré de l'une des inconnues,, & l'autre, le produit de l'autre inconnue par une quantité connue, comme axyy; les inconnues x, & y ont leur origine au fommet de l'axe, ou d'un diametre expri

mé par x, & que lorfqu'elle a plus de deux termes, l'o

rigine des inconnues n'eft point au fommet d'un diame

tre.

3°. Que lorsqu'une équation au cercle, ou à l'Ellipfe,, ou aux diametres de l'Hyperbole, n'a que trois termes, deux defquels renferment les quarrez des deux inconnues, & le troifiéme eft entierement connu, comme aa — xx —

x & y ont leur origine au centre de ces trois Courbes, & que forfque ces équations ont des feconds termes, l'origine des inconnues n'eft point au centre.

4°. Que lorfqu'une équation aux afymptotes d'une Hyperbole n'a que deux termes dont l'un eft le produit des deux indéterminées, & l'autre un Plan connu comme xyab, l'origine des inconnues x &y eft au fommet de l'angle des afymptotes, & que lorsque cette équation a plus de deux termes, l'origine des inconnues eft ailleurs ; où l'on remarquera que les quantitez conftantes, quelque compofées qu'elles fe puiffent rencontrer, ne changent rien de ce que nous venons de dire; puifque l'on peut toujours mettre en leur place des valeurs fimples: par exemple cette équation

a+b+

сс

xxyy, est une équation

au cercle dont le centre eft l'origine des indéterminées : car on peut trouver (Art. 5.) une quantité fimple dd =

Nous avons donné dans les Sections précédentes la maniere de conftruire les équations indéterminées du second degré, c'est-à-dire, de décrire les quatre courbes du premier genre par le moyen de leurs équations: mais ces équations étoient dans l'état où nous les venons de propofer; c'est-à-dire que l'équation à la ligne droite, àla parabole, & aux afymptotes de l'Hyperbole, n'avoit que deux termes; l'équation au cercle, à l'Ellipfe, & aux diametres de l'Hyperbole, n'avoit que trois termes parmi lesquels il n'y en avoit point de fecond: mais lorfqu'on réfout un Problême, les équations où l'on arrive ne font pas toujours, ou plûtôt, font rarement dans

S

cet état. Ce qu'il y a de conftant, c'eft que lorsque les lettres indéterminées n'auront pas plus de deux dimenfions, foit qu'elles foient multipliées par elles-mêmes, ou entr'elles, les équations appartiendront toujours à une des quatre Courbes du premier genre. Il eft même trèsfouvent facile de reconnoitre par la feule inspection d'une équation à laquelle des quatre elle appartient, par ce que l'on a dit ailleurs, & il n'y a qu'un Cas où l'on puisse se méprendre, qui eft lorfqu'une équation renferme deux quarrez inconnus, & que le produit des deux lettres inconnues fe rencontre encore dans quelqu'un de fes termes : car ces équations appartiennent fouvent à l'hyperbole, & quelquefois au cercle, ou à la parabole, ou à l'Ellipse: mais lorsqu'il n'y a qu'un quarré inconnu, & que le produit des deux inconnues fe trouve dans un autre terme, l'équation appartiendra toujours à l'hyperbole, & il fera libre de la réduire aux diametres, ou aux afymptotes, comme on va bien-tôt voir.

Il fuit de tout ceci que pour conftruire les équations qui ne font point dans l'état des précédentes, c'est-à-dire, pour décrire les Courbes aufquelles elles appartiennent, ou il faut donner d'autres régles que celles des trois Sections précédentes, ou il faut donner des régles pour ramener ces équations à l'état où font celles des mêmes Sections, afin de fe fervir des mêmes régles dont on s'y eft fervi pour décrire ces Courbes: mais comme il va paroître un Livre de Monfieur le Marquis de l'Hôpital (pour l'intelligence duquel celui-ci ne fera peut-être pas inutile) dans lequel on trouvera des Méthodes de conftruire les équations indéterminées, telles qu'on les trouve en refolvant les Problêmes, on a jugé à propos de prendre le parti de ramener les équations indéterminées qui n'excedent point le deuxième degré, à l'état de celles par le moyen defquelles nous avons décrit les Sections coniques dans les trois Sections précédentes. Les moyens dont on se sert pour changer d'état ces équations, font nommées réductions.

DES RÉDUCTIONS

Des Equations indéterminées du premier & du fecond degré. 1. Il n'y a que deux chofes qui empêchent les équations indéterminées du fecond degré, d'être femblables, ou dans le même état de celles par le moyen defquelles nous avons décrit les Courbes aufquelles elles appartiennent dans les trois Sections précédentes. Ces deux chofes font les feconds termes, & les rectangles compofez; de forte que pour les réduire, il n'y a qu'à faire évanouir par les régles ordinaires les feconds termes, & changer les rectangles, ou produits compofez en des rectangles, ou des produits fimples.

J'appelle rectangle compofé, le produit d'une lettre ou quantité connue ou inconnue, par une lettre inconnue accompagnée par addition, ou fouftraction d'une autre lettre ou quantité connue fimple, ou composée. Par exemple ay +xy, eft un rectangle compofé de a±x × y ; aa±ay, est un rectangle compofé a ±yxa; aax + axy eft un rectangle compofé de

b

aa + ay
b

xx; ay

+by+xy, eft compofé de a+b+xxy. Il en eft ainfi des

autres.

2. Il y a quelquefois quelque changement à faire pour rendre des quantitez complexes femblables aux rectangles compofez dont nous venons de parler. Par exemple aa -by, n'eft point le produit d'une quantité fimple par une quantité complexe : car pour cela, il faudroit qu'il y cut un 6 dans le premier terme aa; c'eft pourquoi il faut (Art. 5.) changer aa en un rectangle dont un côté foit b, comme en br, & mettant be en la place de aa, l'on aura bc - by = cy x b. Il en eft ainfi des autres.

Il y a des équations, où il n'y a qu'à ôter les feconds termes pour les réduire : il y en a d'autres où il n'y a qu'à changer les produits compofez en des produits fimples,