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bx = 2xy -ay, & le point M se trouveroit dans la ligne droite RO menée par le milieu de KB parallele à IB.

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7. LEs choses étant supposées comme dans l'énoncé du Problême no. 4. Si 2AL=IP, ou 26 === c dans

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=

I

4

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zu = 0; d'où il suit qu'en ce cas - ac, & partant

8

l'Hyperbole se confond avec ses asymptotes, & que par consequent le point M se trouvera dans la ligne RQ qui est une des asymptotes. En effet en ce cas l'équation à zabx

réduire devient aab + 2bxx 2axy + aay = 0, en mettant 26 en la place de c, qui étant divisée par 2x - a = 0, il vient bx -ab-ay = 0, & l'équation 2x

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M se trouve dans la ligne RQ menée par le milieu de LB parallele à AL.

COROLLAIRE IV.

8. ENFIN fi 2AL est moindre que IP, ou que le point A, se confonde avec le point K, ou qu'il se trouve au-dessous de K, l'Hyperbole se trouvera de l'autre côté de RQ, & paffera par le point A; car dans l'équation

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I

8

8

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premier cas; ab fera nulle ou o dans le fecond; &

4

dans le troisiême, 6 deviendra negative de positive qu'elle

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gative, & partant l'Hyperbole se trouvera de l'autre côté de RQ.

1

REMARQUES.

9. LORSQU'ON veut réduire ces fortes d'équations à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes il faut observer 1. Que si la lettre inconnue qui n'est point quarrée dans l'équation, se trouve multipliée par une quantité connue dans quelqu'un de ses termes, autre que dans celui où elle se trouve multipliée par l'inconnue qui est quarrée, il faut mettre tous les termes où l'inconnue qui n'est point quarrée se trouve dans un des membres de l'équation, & tous les autres termes dans l'autre, & faire la premiere réduction sur le membre où l'inconnue qui n'est point quarrée se trouve.

2o. Dans la seconde réduction (qui seroit la seule, si la lettre inconnue qui n'est point quarrée ne se trouvoit point seule dans quelque terme de l'équation) la lettre inconnue qui n'est point quarrée doit toujours être positive.

3°. Dans l'une & l'autre réduction, l'inconnue qui n'est point quarrée, doit toujours être délivrée de toute quantité connue.

40. Quand on ne veut point se donner la peine de faire toutes ces réflexions, il n'y a qu'à réduire ces équations à l'Hyperbole, en les regardant par raport à ses diametres, où il n'y a aucune précaution à prendre. Il faut éclaircir ceci par un exemple.

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qui est celle que l'on vient de construire. Si on suppose que le point A tombe en K, AL = b deviendra nulle ou = 0; c'est pourquoi en effaçant tous les termes où b

se rencontre, l'on aura

схх - асх

24

= xy -- ay que l'on

2

se propose de réduire à l'Hyperbole par raport à ses asym

protes, & dont les termes sont disposez dans l'un & l'autre membre de l'équation felon ce qui est dit dans le premier cas de la remarque précédente.

zayz

=

aac,

ou

24

-yz

Faisant donc x - a = z, l'on réduira l'équation à celle-ci czzー = ac. Il faudroit pour faire la seconde réduction prendre-y = u; mais parceque l'inconnue y qui n'est point quarrée dans l'équation à réduire se trouve négative dans cette feconde réduction, & qu'elle y doit être positive, les réductions que l'on vient de faire ne serviront de rien. Il faut donc changer les signes de tous les termes de l'équation pour la réduire de nouveau, & l'on aura

асх сх

Ia

= + ay - xy ; & en faisanta – x = x, l'on réduira l'équation à celle-ci ac = zy+, & faisant y += a, l'on aura ac = zu. Les réductions & l'équation réduite serviront à décrire l'Hyperbole, qui paffera par le point K ou A qui (Hyp.) ne font qu'un même point. On voit encore par l'équation à réduire que 'Hyperbole doit passer par le point K: car fi l'on fait x = 0, l'on aura aussi y = 0, d'où il suit que les coordonnées s'anéantissent au point K.

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Où l'on donne la Méthode de construire les Problêmes Solides déterminez, par le moyen de deux équations locales, ou indéterminées, lorsque l'une des deux se rapporte au cercle, ou y peut étre ramenée.

XXIII.

L

MÉTHODE.

Es inconnues de ces deux équations étant les mêmes, elles auront leur origine en un même point, & ayant construit ces deux équations l'une après l'autre par les regles de la Section précedente, les points où les courbes ausquelles elles appartiennent se couperont, résoudront les Problêmes, comme on va voir par les exemples qui suivent.

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1. U N demi cercle AMB dont le diametre eft AB, & le FIG. 96. centre C, & une ligne GH perpendiculaire à AB, étant donnez de position, il faut trouver fur la circonférence le point M, par où ayant mené du centre C, la droite CME, qui rencontre GH en E, & par le mème point M, la droite MHparallele à AB, qui rencontre la mème GH en H ; HE soit égale au demi diametre CB du cercle donné, ou à une autre ligne donnée.

Ayant supposé le Problême résolu, on abbaissera du point M fur AB la perpendiculaire MP; & ayant nommé les données CB, ou CM, ou (Hyp.) HE, a; BG, b; & les indéterminées CP, x; PM, y; PG, ou MH fera a + b - x, & les triangles semblables CPM, MНЕ,

donneront x, (CP).y (PM) :: a + b - x(MH). (HE), d'où l'on tire ax = ay + by xy, qui est une équation à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes. Et à cause du triangle rectangle CPM, l'on aura xx + yy = aa qui est une équation au cercle.

Si l'on fait présentement évanouir l'inconnue y, l'on aura après avoir ordonné l'équation,

x2-2ax+aaxx+2ax - a

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Et si l'on fait évanouirx, ( car il est à propos de faire évanouir les deux inconnues l'une après l'autre, pour voir si l'équation qui résulte d'une maniere n'est pas plus fimple que celle qui resulte de l'autre ) l'on aura.

y+zay+aayy - za'y-a:

+ 2ab

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qui paroit plus simple que la précédente. Mais comme ces deux équations sont du quatrième degré, & qu'on ne peut, ni par la division, ni par la transformation, les réduire à une équation du second; il suit que le Problême est solide, & parceque l'une des deux équations indéterminées appartient au cercle, on le construira par leur moyen en cette forte.

Il est clair que l'équation xx + yy = aa , appartient au cercle donné AMB; c'est pourquoi il n'y a qu'à construire l'équation à l'Hyperbole ax = ay+by - xy; faisant donc pour la réduire a + b x=z, l'on aura x = a+b-z; & mettant cette valeur de x dans l'équation, elle deviendra aa + ab - az = yz, ou aa + ab = yz+ az; & faisant encore y + a = u, l'on aura l'équation réduite aa + ab = uz, qui fournit avec les réductions cette construction.

Le point C étant l'origine des inconnues x qui va vers G, & y parallele à GH; à cause de la premiere réduction a+b-x=z, le point G sera (Art. 16. no.4.) l'origine dez qui revient vers C. A cause de la seconde réduction

y+a

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