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y+a
au, on prolongera HG, en O, & ayant fait GO
a=CB; le point o fera l'origine des inconnues z qui
va vers Z parallele à GC, & u qui va vers H, & le fommet
de l'angle des afymptotes, qui feront OL & OH, Et à
caufe de l'équation réduite aa + ab =uz, dont la quan-
tité connue da aba + bx a = CG x CB=(Conft.)
a=CG
CG × GO, l'on décrira ( Art. 14.) par le centre C du cer-
cle AMB, l'Hyperbole CM qui coupera le cercle au
point cherché M.

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DE'MONSTRATION.

AYAN
ANT prolongé M P jusqu'à l'asymptote O L en K,
& mené Cĺ parallele à PK, par la propriété des asymp-
totes (Art. 14. n°. 1. ) OL × LC OH × HM, donc
CPx PK PM x MH; donc CP. PM :: MH.PK.
Mais à caufe des triangles femblables CPM, MHE,CP.
PM:: MH. HE; donc MH.PK:: MH. HE; & par
tant PK (= GO= ( Const. ) CB) — HE. C. Q. F. D.

=

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2. DIVISER un arc de cercle donné BDC, dont le centre F16. 97. eft A,& la corde BC, en trois parties égales BD, DF, FC.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, les cordes BD,DF, FC feront égales, celle du milieu DF fera parallele à BC; le rayon AE, perpendiculaire à BC fera auffi perpendicu laire à DF, & les coupera toutes deux par le milieu en H & en G, & fa partie AH comprise entre le centre A, & la corde BC, fera donnée de grandeur, & de position: mais AG & GD ou GF feront indéterminées. Si l'on mene encore les deux rayons AD, AF, qui rencontrent BC en I & en K, HI fera HK, & les triangles BDI, CFK feront égaux, femblables, & ifofceles; puifque par l'Hypothese l'angle IDB = IDF = AIK=BID. Par

=

Bb

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la même raifon l'angle KFC KFD = IDF = AKI

=

CKF; & qu'outre cela BDCF.

Nommant donc les données AE, ou AD, ou AF, a; HB, ou HC, b; AH, c; & les inconnues AG, x; GD ou GF,y; DF, ou DB, ou BI fera, 2y, & partant HI, b — 23.

l'on tire bx

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A caufe des triangles femblables AGD, AHI, l'on aura x (AG).y (GD):: c(AH). b— 27 (HI), d'où 2xy=cy, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes; & à caufe du triangle rectangle AGD, l'on aura xx + yy = aa, qui est une équation au cercle du Problême BDC.

Si l'on fait préfentement évanouir une des deux inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées que l'on vient de trouver, l'on aura une équation du quatriême degré qui ne peut être réduite à une équation du fecond, d'où l'on doit conclure que le Problême eft folide, ainfi on le peut conftruire le moyen par des deux mêmes équations indéterminées. Mais l'équation au cercle fe trouve conftruite, puifqu'elle fe rapporte au cercle du Problême BDC. C'eft pourquoi il n'y qu'à conftruire l'équation à l'Hyperbole, qui étant réduite donne avec fes réductions cette construction.

=

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Soit prolongée AH en L, en forte que AL-AH, & menée par L une parallèle à BC, fur laquelle ayant pris LO HB, l'on menera par O la droite OM parallele à AG, qui rencontrera H B en X L'Hyperbole AD décrite par le centre A entre les afymptotes O L, OM, coupera l'arc BDC au point cherché D; de forte que fi l'on mene DF parallele à BC, les points D & F diviferont l'arc BDC en trois parties égales B D, DF, FC,

DEMONSTRATION.

AYANT mené par le point D, où l'Hyperbole A D coupe l'arc BDC, la droite DN parallele à l'afymptote OM, qui rencontrera HB en V, & LO en N, & par le centre A, le diametre gAf parallele à l'afymptote OL,

qui rencontrera OM en P,& ND en S. L'on aura à cause des afymptotes OL, OD; DN × NO AL × LO; donc SP × SD SA× AL; donc DS. SA :: AL. SP : mais les triangles femblables DSA; AHI donnent DS.SA:: AH. HI; donc AL. SP :: AH, HI. Or (conft.) AH=2AL; donc HI2SP; & partant HV, ou GD = 2SP + IV, & DF = 4SP + 2IV: mais HX(: HV+SP)=3SP+IV; c'est pourquoi BX=( const.) HX=3SP+ IV; & par conféquent B X+XI, ou BI = 4SP + 2IV; donc B1DF KC. Mais les triangles semblables A KI, A F D donnent A K.KI:: AF. FD, ou ( ayant mené AB, AC) AK, KI ::: AB. BI; d'où il fuit que l'angle BAD CAF = DAF, C. Q. F. D.

C

=

Si la corde BC paffoit par le centre A, & étoit confondue avec le diametre g4f, l'arc BC feroit un demi cercle, & la perpendiculaire AHc, feroit nulle ou o; c'eft pourquoi, en effaçant dans l'équation à l'Hyperbole, les termes où c fe rencontre, l'on auroit y = 1 b = Ag; d'où il fuit qu'ayant divifé Ag par le milieu en R, mené RT perpendiculaire à Ag qui coupera le demi cercle en T, & TZ parallele à gf, les arcs g7, TZ, & zf feront égaux. Ce qui eft évident.

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3. TROUVER deux moyennes proportionnelles entre deux F16.98lignes données KL, MN.

Ayant fuppofé le Problême résolu, & nommé les données KL, a; MN, b; & les inconnues x & y; l'on aura fuivant les termes de la question a.xx.y, a.xx.y, & x. y :: y. b, d'où l'on tire ay = xx, & bx =yy, qui font deux équations à la Parabole; & faifant évanouir l'inconnuey, l'on aura x3-aab, qui eft une équation du troifiême degré, & montre que le Problême eft Solide.

Mais parceque deux équations à la Parabole étant combinées par addition ou fouftraction, peuvent toujours donner une équation au cercle, attendu que l'équation à la Parabole ne renferme qu'un quarré inconnu qui peut toujours être délivré de toute quantité connue; il fuit qu'on peut conftruire ce Problême par le moyen de l'une des deux équations précédentes, & de l'équation au cercle qui résulte de la combinaison des deux mêmes équapar addition, qui eft ay + bx=xx + yy. Et parceque les deux premieres équations ay

tions

=

xx, & bx =yy font également fimples, on peut indifféremment fe fervir de celle qu'on voudra. Prenons donc la premiere ay xx. Pour la conftruire, foit A l'origine des inconnuesx qui va vers H, & y, qui va vers G perpendiculaire à AG, le même point A fera auffi le fommet de l'axe AG; de la Parabole qu'il faut décrire, puifque l'équation ay xx, n'a pas befoin de réduction; il n'y a donc qu'à décrire (Art. 10. n°. 11. ) fur l'axe AG une Parabole dont le parametre foit la ligne donnée KL—a, Pour conftruire préfentement l'équation au cercle ay =xx+yy; soit fait pour la réduire y — 1⁄2 a = u, b=z; & l'on aura l'équation réduite aa+ ༢.; bb — uu=22, qui avec les réductions donne cette conftruction.

+ bx

&x

Le point A étant toujours l'origine des inconnues y & x; à cause de la premiere réduction y — a — u, l'on prendra AC a = KL, & ayant mené CO parallele à AD; à caufe de la feconde réduction x

=

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=༢,༠n

prendra fur CO, CEbMN, & le point E fera l'origine des inconnues z, qui va vers 0, & u, parallele à AG, & le centre du cercle qu'il faut décrire: mais √ aa + bb, qui est la racine du terme connu de l'équation réduite, eft le demi diametre du même cercle; c'eft pourquoi fi du centre E par A on décrit un cercle,

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