prendra AR = a, & ayant mené par R la perpendiculaire RO; à caufe de la seconde réduction y + 26 = u, l'on prendra RO = 26; & le point o sera le centre du cercle qu'il faut décrire, à cause de 266, on prendra R I moyenne proportionnelle entre 26, & b; & du centre 0, & du rayon IH, que l'on déterminera en prolongeant RA en H, en forte que AH = a, l'on décrira un cercle. Pour construire présentement l'une des deux équations à la Parabole, par exemple la seconde yy ou yy + = ax + aa - ax = ad bb; foit fait pour 2by bb, 2by la réduire y + b =s, & x + a = t, & l'on aura ff=at, qui donne avec ses réductions cette construction. A cause de la seconde réduction x + a ====t, l'on prolongera AG du côté de A en H, en forte que AH = a, & ayant mené HK perpendiculaire à AH; à cause de la premiere réduction y+b=/; on prendra HK = b, l'on menera KS parallele à AG, & l'on décrira (Art. 10. no. 11.) fur l'axe KS, dont le fommet est K, une Parabole par le moyen de l'équation réduire ff=at. Cette parabole coupera le cercle en deux points M & N, de maniere FIG.100. qu'ayant abbaissé des points M & N les perpendiculaires MP, NQ; PM sera la valeur positive de y CB ; NQ, sa valeur negative; & AP, la valeur de x = EC. De forte que si l'on fait EC = AP, & qu'on décrive fur le diamerre DC un demi cercle dans lequel ayant ajusté CB = PM, & mené BD, le triangle CBD sera celui qu'il faloit décrire. 1. DEMONSTRAΤΙΟΝ. AYANT joint IH & mené par le centre o le diametre VOT parallele à AG qui rencontrera MP prolongée en ☑ de part ou d'autre du point O. Par la construction, & par la propriété du cercle, l'on aura IH2, ou OV, ou 101, 2bb - xx + ax -aa=yy+4by+ 466, ou zad + ax =yy+ 4by + 266. XX Par la propriété de la Parabole KM dont le parametre est a, l'on aura a x KL = LM', ou ax + aa= yy+ 2by+bb, ou en soustrayant la seconde équation de la premiere, le premier membre du premier; & le second du second, l'on aura aa -xx= 2by+ bb, qui est la premiere équation du Problême, & en soustrayant cette équation de la précédente, chaque membre de chaque membre, l'on aura ax + xx = = yy, qui est la feconde équation du Problême. C. Q. F. D. Où l'on donne la Méthode de construire les Problémes Solides par le moyen de leurs équations déterminées ; ou ce qui est la même chose, de construire les équations déterminées du troisiéme, & du quatriême degré. XXIV. MÉTHODE. : OIT qu'on ait employé deux ou plusieurs lettres inconnues, ou qu'on n'en ait employé qu'une pour réfoudre un Problême, quand on eft venu à une équation déterminée du troisième ou du quatrième degré, qui ne peut être réduite à une équation du second, le Problême est necessairement Solide, comme on a déja dit ailleurs, & on le pourra toujours construire par le moyen de cette équation, en observant les régles qui fuivent. 1. Si l'équation a un second terme, on le fera premierement évanouir. Cela fait 2. Si l'équation eft du troisiême degré, on la multiplie ra par l'inconnue qu'elle renferme pour la rendre du quatriême. 3. On formera une équation à la Parabole dont un des membres sera le quarré de la lettre inconnue de l'équation que l'on veut construire, & l'autre membre fera le produit d'une autre lettre inconnue par une lettre connue quelconque, ou plutôt par une des lettres connues qui se trouve le plus fréquemment dans l'équation à conf truire: car par ce moyen on rend la construction un peu plus simple. 4. On fera évanouir l'inconnue de l'équation à construire dans le premier & dans le troisiême terme: (car on suppose qu'elle n'en a point de second) en substituant en sa place, sa valeur prise dans l'équation à la Parabole que l'on a formée, & l'équation qui en résultera sera une autre équation à la Parabole, 5. On combinera par addition ou soustration ces deux équations à la Parabole, de maniere que l'équation qui en résulte soit une équation au cercle. 6. On construira l'équation au cercle, & la plus simple des deux équations à la Parabole, comme dans la Section précédente, en supposant que les lignes exprimées par les deux inconnues font un angle droit, & les interfections de ces deux courbes donneront les racines, ou valeurs tant positives que négatives de l'inconnue de l'équation à construire. Tout ceci sera éclairci par les exemples qui suivent, 7 TROUVER une ligne dont le cube soit au cube d'une ligne donnée CD, dans la raison donnée de m à n. Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée CD, a; & l'inconnuex, l'on aura par la condition ma3 du Problême x2. ' :: m. n, d'où l'on tire x= qui est une équation du troisiême degré, qui ne pouvant être réduite à une équation du second; il suit que le Problême est Solide, n En multipliant cette équation parx, l'on aura x max = n & faisant (n°. 3.) ay = xx, qui est une équation à la Parabole, l'on a aayy = x*; & mettant dans l'équation à construire pour x* sa valeur aayy, l'on 4 4 ou yy, qui est une autre équa. n tion à la Parabole. Et combinant ces deux équations à Ia Parabole par addition ou soustraction, l'on aura yy max ay n - xx, qui est une équation au cercle dont la construction jointe avec celle de l'équation à la Parabole ay=xx, réfoudra le Problême. Soit le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, FIG. 102. & x qui lui est perpendiculaire. Et soit décrite (Art. 10. no. 11). sur l'axe AG dont le sommet est A la Parabole AH, dont la parametre soit a = CD. Cette Parabole sera celle dont l'équation est ay = xx. L'équation au cercle étant réduite donnera avec les réductions cette construction, Ayant pris sur AG, AI=a=CD, on élevera au point I la ligne IK perpendiculaire à AG & égale à ma 一, 21 & du centre K par A, l'on décrira un cercle qui coupera la parabole AH au point M, par où l'on menera la droite MP parallele à IK; je dis que MP exprimée par x, qui est l'inconnue de l'équation x3= que l'on vient de construire, est le côté du cube qu'il faloit trouver. DEMONSTRAΤΙΟΝ. mas AYANT joint AK, & mené KOR parallele à AP qui rencontrera le cercle en R, & PM en O. L'on a par la proprieté du cercle KA2, ou KR-KO=0M2, се qui est en termes algebriques I 4 aa+ --yy+ayー mmaa qui devient ay - yy = Mais à cause de la Parabole l'on a (Art. 10.) ay = xx ; donc yy = aa ; mettant donc dans l'équation précédente pour ay, la valeur xx, & pour yy, fa |