K. xx+ax=yy, qui eft la feconde équation du même
Exemple. C. Q. F. D.

REMARQUE.

101.

12.PAR le moyen de cette conftruction, l'on ne déter- FIG. 100. mine que la grandeur du côté CB=PM, au lieu que par la construction de la Section précedente, l'on a auffi déterminé la grandeur de CEAP, d'où l'on voit que lorfque l'on conftruit un Problême folide par le moyen de fon équation déterminée, il n'eft pas entierement réfolu. Il faut encore pour cela réfoudre & conftruire un' autre Problême fimple ou Plan; au lieu que lorfqu'on le conf truit par le moyen de fes deux équations indéterminées, il eft entierement réfolu : car les valeurs des deux inconnues fe trouvent toujours déterminées.

Ainfi pour achever de réfoudre le Problême, en fuppofant qu'on n'a déterminé que le côté CB par la conftruction précedente; foit encore CE nommé x; & BD, c; l'on aura par la proprieté du triangle rectangle x + a (CD). c (BD) :: c (BD). a DE, d'où l'on tire x- bb a, qui fervira à déterminer la grandeur CE, & le Problême fera entierement réfolu.

REMARQUES GENERALES

Sur la conftruction des Problèmes Solides.

13.LES constructions du deuxiême & cinquiême exemples de la Section précedente, comparées avec les conItructions du fecond & du troifiême de cette Section font voir qu'il eft plus à propos de conftruire les Problê mes folides avec deux équations indéterminées, qu'avec une équation déterminée, lorfqu'on le peut. Or on le peut toujours lorsque l'une des équations indéterminées se rapporte au cercle, ou bien lorfque les deux lettres inconnues ne fe multiplient point dans les deux mêmes équations indéterminées : car en ce cas on trouvera toujours une équation au cercle, comme on a fait dans cet exemple.

On voit auffi qu'il n'est pas absolument neceffaire que les deux lettres inconnues ayent les qualitez marquées dans la premiere Obfervation de l'article 4. On peut même les placer de differentes manieres, & chercher à chaque fois deux équations: car on trouve fouvent des équations plus fimples en les plaçant d'une maniere, qu'en les plaçant d'une autre.

14. Quoiqu'on n'ait employé dans cette Section que le cercle & la Parabole pour la construction des Problêmes folides, cela n'empêche pas qu'on ne puiffe les conftruire avec celle qu'on voudra des Sections coniques : car on peut tirer d'une équation déterminée du troifiême & du quatriême degré des équations à l'Ellipfe, & à l'Hyperbole comme on en a tiré une équation au cercle, avec cette difference feule qu'on ne peut tirer d'une équation du quatrième degré, une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes, & qu'on la peut tirer d'une équation du troifiêmę.

=

Soit par exemple A.x3-3aax-aab, qui eft l'équation de l'exemple 2.

En fuppofant B. ay=xx, & mettant en la place de xx la valeur ay, l'on aura C. xy-3ax-b, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes. Et multipliant l'équation C par x, & mettant enfuite pour xx, fa valeur ay dans le premier terme, l'on aura D. yy= 3xx bx, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes diametres, comme celle de l'Art. 14. no. 13. & mettant encore pour xx fa valeur ay dans l'équation D; il viendra E. yy3ay—bx, qui eft une équation à la Parabole. En ajoutant les deux membres des deux équations B & E, le premier au premier, & le fecond au fecond, l'on aura yyxx+2ay-bx, qui eft une équation à l'Hyperbole equilatere. Si l'on ajoute le fecond membre de l'équation B au premier de l'équation E, & le premier au fecond, l'on aura yy+xx=4ay—bx, qui eft une équation au cercle. Si on multiplie l'équation B par un nombre quelconque entier ou rompu, où par une fraction

a

litterale, comme,

avant que

de la combiner avec l'é

quation F, comme on vient de faire ; l'on aura une équation à l'Hyperbole, & une à l'Ellipfe.

On peut de même combiner deux des équations précedentes prises à volonté, & enfuite celles qui résultent de ces combinaisons, ce qui donnera une infinité d'équations aux Sections coniques, de l'une desquelles on pourra fe fervir avec l'équation au cercle.

15. On tirera de la même maniere d'une équation du quatrième degré qui n'a point de second terme, des équations aux Sections coniques, & une au cercle : mais on n'en trouvera point à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes: où l'on remarquera que fi l'on tiroit deux équations au cercle d'une équation du troifiême ou du quatriême degré, le Problême feroit Plan, & l'équation se pourroit réduire à une équation du second degré.

16. On peut encore conftruire les Problêmes folides avec l'équation au cercle, & telle Section conique qu'on voudra, comme on peut voir dans le Traité de la Conftru&tion des Equations de Mr. de la Hire, dont on a suivi ici la Méthode.

17. On multiplie les équations du troifiême degré par leur inconnue, pour en tirer une équation à la Parabole, differente de celle que l'on forme arbitrairement pour introduire dans l'équation déterminée afin d'en tirer des équations indéterminées : mais cela n'y apporte aucun changement: car les Problêmes du troifiême & du quatriême degré font de même nature; & même leurs constructions ne different qu'en ce que les deux Courbes qu'ón y employe paffent par l'origine de l'inconnue de l'équation, quand elle eft du troifiême degré, &qu'elles n'y paf fent pas quand elle est du quatriême.

Dd iij.

Où l'on donne la Méthode de réfoudre & de conftruire les Problêmes indéterminez dont les Equations excedent le fecond degré: ou ce qui eft la même chose, de décrire les courbes dont ces Equations expriment la nature; & de réfoudre & de conftruire les Problêmes déterminez, dont les Equations excedent Le quatrième degré.

XXV.

MÉTHO D E.

N a donné des régles dans la cinquiême, fixiême & feptiême Section pour décrire les courbes du premier genre d'une maniere plus fimple que celles qu'on tireroit naturellement de leurs équations : mais on n'en peut pas donner pour décrire celles des genres plus compofez. Il faudroit pour cela les avoir examinées les unes après les autres; ce qui iroit à l'infini : car chaque genre en contient un nombre d'autant plus grand qu'il eft plus compofé, & il y a une infinité de genres.

1. On dira feulement en general qu'après avoir trouvé une équation pour chaque Problême (en obfervant pour nommer les lignes inconnues, ce qui eft prescrit dans la premiere ou feptiême Observation de l'Art. 4.), qui exprime la nature de la Courbe qui doit fervir à le réfoudre, qui en détermine le genre, & qui foit réduite à fon expreffion la plus fimple; il faut examiner par l'inspection des termes de l'équation, celle des deux inconnues dont on peut plus facilement trouver les valeurs en fuivant les régles de la conftruction des équations déterminées, trouver par les mêmes régles les valeurs de

cette inconnue, en affignant à l'autre inconnue une valeur déterminée, & arbitraire ; & l'on aura à chaque fois qu'on affignera à cette inconnue des valeurs arbitraires, autant de points de la courbe qu'on veut décrire, que l'autre inconnue aura de valeurs réelles, pofitives, & négatives. De forte que fi l'inconnue la moins élevée de l'équation, fi elles ne le font pas toutes deux également, a une ou deux dimensions, on en trouvera les valeurs par les règles de la Section II, en affignant à l'autre inconnue des valeurs arbitraires, & la regardant enfuite comme déterminée. Si elle a trois ou quatre dimensions, on en trouvera les valeurs par les régles de la Section précedente ; & fi elle a un plus grand nombre de dimenfions, on en trouvera les valeurs comme on expliquera dans la fuite: mais comme l'on en pourra plus tirer l'équation au cercle, il ne fera point neceffaire d'en faire évanouir le second terme, s'il s'y rencontre : où l'on remarquera qu'il faut réïtérer la conftruction autant de fois qu'on affignera des valeurs differentes à l'inconnue que l'on prend pour conftante.

2. On peut auffi, après avoir trouvé une équation comme on vient de dire, abandonner la premiere & feptiême Observations de l'Art. 4, & nommer d'autres lignes par des lettres inconnues, & chercher par ce moyen d'autres équations, qui n'exprimeront pas effectivement la nature de la courbe qui doit réfoudre le Problême, & qui n'en détermineront pas le genre: mais qui pourront fervir à décrire plus fimplement la même courbe, foit par elles-mêmes, ou en faifant évanouir par leur moyen les inconnues de la premiere équation, afin de la rendre plus fimple, & d'en tirer plus facilement la maniere de décrire la même courbe.

3. On peut encore tirer de l'équation qui exprime la nature de la courbe qui doit réfoudre un Problême, des équations à quelqu'une des quatre courbes du premier genre, lorfqu'on y trouve l'expreffion de l'appliquée de quelqu'une des quatre mêmes courbes, en égalant cette