du premier qui lui foit égale, pour la réduire, fi cela fe peut, à une équation déterminée du fecond degré. Si par ce moyen on n'y réuffit point, il faudra, fi elle eft du quatriême degré, faire évanouir le second terme la transformer en une équation du troifiême, & voir fi elle ne peut point enfuite être divifée par quelque binome, compofé d'un des diviseurs de deux dimenfions du dernier terme, & du quarré de l'inconnue qu'elle renferme, & la réduire par ce moyen à une équation du second degré. Mais fi l'on ne trouve aucun binome plan, qui puiffe diviser l'équation transformée, le Problême fera folide, & on pourra le conftruire avec les deux équations indéterminées, de la maniere qu'on dira dans la neuviême Section; & la conftruction fera même beaucoup plus fimple, & plus élegante que celle qu'on tireroit de l'équation déterminée, qui résulte de l'évanouiffement de l'une des inconnues, comme on pourra voir en comparant les conftructions des Problêmes folides de la neuviême Section, avec celles de la dixiême.

19. Si par la feule divifion l'équation déterminée peut être réduite à une équation du fecond degré, le Problême fera plan, & on le conftruira par le moyen de l'équation réduite à deux dimenfions, comme on enseignera dans la Section fuivante.

Si pour réduire l'équation déterminée à une équation du fecond degré, il faut employer la transformation; on pourroit encore le conftruire par le moyen de l'une des deux équations du fecond degré que l'on en tire : mais la construction en fera beaucoup plus fimple, fi en abandonnant ce qui eft dit dans la premiere Obfervation, on prend d'autres lignes pour inconnues, & que l'on en tire de nouvelles, felon qu'on le jugera neceffaire, & que par ce moyen on puiffe venir à une équation déterminée du fecond degré. Et fi on n'y réuffit pas du premier coup, il faudra encore tenter d'autres voyes; car quand un Problême est fimple, on peut trouver une équation fimple, & conformę à fa nature, soit d'une maniere, foit d'une autre,

20. Si aucune des deux équations indéterminées ne se rapporte au cercle, & n'y peut être réduite par la combinaison de l'une avec l'autre, ou autrement; & que l'équation qui résulte de l'évanouiffement de l'une des inconnues, foit du troifiême ou du quatriême degré, & ne puisse être réduite par la divifion, ou par la transformation à une équation du second degré; il faudra par fon moyen conftruire le Problême, comme il fera enfeigné dans la dixiême Section: car il fera neceffairement folide; & quand on chercheroit d'autres équations par d'autres voyes, elles ne pourroient être plus fimples que par leurs termes, un Problême ne pouvant jamais changer de nature.

21. Enfin fi l'équation qui résulte de l'évanouiffement de l'une des deux lettres inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées, excede le quatriême degré, & n'y peut être réduite par la divifion; le Problême fera lineaire, & on le conftruira par le moyen des deux équations indéterminées, comme on le dira dans la douziême Section.

22. La raison de tout ceci, eft que pour conftruire les Problêmes fimples, & plans, on ne doit employer que la ligne droite & le cercle; puifqu'on le peut toujours. Et fi on les conftruifoit par le moyen des deux équations indéterminées que l'on trouve en employant deux lettres inconnues, on y employeroit fouvent d'autres courbes, qui ne font pas fi fimples que le cercle.

Pour construire les Problêmes folides dont les équations font du troifiême ou quatriême degré, on ne doit employer que le cercle, & une courbe du premier genre, puifque cela fe peut auffi toujours.

Mais parceque pour conftruire les Problêmes lineaires, dont les équations excedent le quatriême degré, l'on ne peut faire fervir le cercle; leur construction fera plus fimple par le moyen des deux équations que l'on trouve en employant deux inconnues, felon la premiere Obfervation, que de toute autre maniere: car, à mon avis, c'est en quelque façon gêner la Geometrie que d'y introduire,

fouvent avec beaucoup de difficulté, de certaines courbes préferablement à d'autres qui fe presentent naturellement, & dont la defcription eft fouvent très- fimple : en quoi je voudrois que les courbes fuffent préferées, fans avoir égard à leur genre, de la maniere qu'on le détermine ordinairement.

AVERTISSEMENT.

Lorfqu'on fait qu'un Problème eft fimple, ou plan, il n'eft point neceffaire d'avoir égard à la premiere Obfervation, ni a'employer deux lettres inconnues pour le refoudre. Il y a aussi des Problèmes fi fimples, qu'il n'y a aucune difficulté, ni pour nommer les lignes, ni pour trouver des équations.

Tout ce qu'on a dit dans cette premiere Section fera éclairci par toute la fuite de cet Ouvrage, qui n'en eft que l'Application, & un Commentaire.

Où l'on donne la maniere d'exprimer Geometriquement les quantitez Algebriques, & de refoudre les Problêmes fimples, t) plans; ou ce qui eft la même chofe, de conftruire les équations déterminées du premier & du fecond degré.

ས.

VO quantitez Algebriques, par

N peut exprimer Geometriquement toutes les le moyen de's quatre

operations fuivantes, qui font de trouver des troifiêmes, quatrièmes & moyennes proportionnelles, & de tirer les racines de la fomme, ou de la difference de deux ou de plufieurs quarrez.

1. Pour exprimer Geometriquement

ab

с

; ayant mené

FIG. 3. une ligne droite AH, dont l'extrêmité A soit fixe, fait AB=c, AD=a, mené BC=b, qui fasse avec AB un

angle quelconque ABC, s'il n'eft pas déterminé d'ailleurs, & mené ACG ; la ligne DE parallele à BC sera : car

ab

à caufe des paralleles BC, DE, l'on aura AB (c). AD (a):: BC (b). DE= Ce feroit la même chofe s'il

ab

aa

faloit exprimer Geometriquement -: car il n'y auroit

C

qu'à faire BC=AD-a, après avoir fait AB=c; où l'on remarquera que toute quantité fractionnaire peut être regardée comme le quatriême terme d'une proportion, qui renferme les trois autres, & dont le dénominateur est le premier.

De même pour exprimer Geometriquement

aa+ab

c+d

;

aa + ab

c+ d

en réduifant en proportion l'on a c+d. a+b:: a. Faifant donc AB=c+d, AD=a+b, BC= a; DE parallele à BC, fera=

aa+ab c+d

Ce fera la même chofe

fi l'on veut exprimer Geometriquement

aa bb

: car en

réduifant en proportion l'on a .c.a+b::a—b. aabb

Semblablement, pour exprimer Geometriquement

aa

aab

cd

aa

qui contient deux proportions, c. a :: a. —,

pour les quantitez précedentes, & enfuite Il en est

ainfi des autres quantitez fractionnaires.

1.

cd

2. Pour exprimer Geometriquement Vab. Il faut pren

ayant

FIG. 10. dre fur une ligne droite AH, AD-a, & DB=b, & décrit un demi cercle fur le diametre AB; la ligne DE perpendiculaire au point D, fera égale à Vab: car nommant DE, x; l'on aura a (AD). x (DE) :: x ( DE). b (DB); donc xx= ab, & x= Vab. De même pour exprimer √aa+ab, on voit que aa+ab, eft la produite de a+b; par a. Ainfi ayant fait AD=a+b,& DE a; DE, fera Vaa + ab.

Semblablement, pour exprimer Vaa — bb; puisque aa-bb, eft le produit de a+b par a-b, en faisant AD=a+b, & DB—a—b; DE fera-Vaa—bb. On peut encore exprimer autrement cette quantité, comme on va voir no. 3.

Pour exprimer

n

Vaa

-bb; ayant trouvé, comme

on vient de faire DE—Vaa—bb, & l'ayant nommée; c,

mc

m

l'on aura au lieu de Vaa-bb, & l'on trouvera (n°. 1.)

mc

FIG. 3. DE -›

n

n

n

faisant AB=n, BC=m, & AD=c.

3. Pour exprimer Geometriquement Vaa+bb. Puifque aa+bb est la fomme de deux quarrez, il est clair que FIG. 11. fi l'on décrit un triangle ABC rectangle en B, un de fes côtez AB étant nommé a, & l'autre BC, b; l'hypothenuse AC sera =√aa+bb. Il ne feroit pas plus difficile d'exprimer la racine de la fomme de plufieurs quarrez, comme Vaa+bb+cc, &c.

=

Pour exprimer Geometriquement Vaa-bb, qui est la difference de deux quarrez; il est évident qu'ayant décrit un triangle rectangle dont l'hypothenuse foit—a racine du quarré pofitif, & un des côtez 6 racine du quarré negatif, l'autre côté fera =√aabb. Ce qui fe fait en FIG. 12. cette forte; foit décrit fur le diametre AB=a, le demi cercle ACB, & foit infcrit dans le demi cercle de la ligne AC-b, & mené CB; l'angle ACB, étant droit à

cause