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du premier qui lui soit égale, pour la réduire, si cela se peut, à une équation déterminée du second degré. Si par ce moyen on n'y réussit point, il faudra, si elle est du quatriême degré, faire évanouir le second terme; la transformer en une équation du troisieme, & voir si elle ne peut point ensuite être divisée par quelque binome, composé d'un des diviseurs de deux dimensions du dernier terme, & du quarré de l'inconnue qu'elle renferme, & la réduire par ce moyen à une équation du second degré. Mais si l'on ne trouve aucun binome plan, qui puisse diviser l'équation transformée, le Problême sera solide, & on pourra le construire avec les deux équations indéterminées, de la maniere qu'on dira dans la neuviême Section; & la construction sera même beaucoup plus simple, & plus élegante que celle qu'on tireroit de l'équation déterminée, qui résulte de l'évanouissement de l'une des inconnues, comme on pourra voir en comparant les construtions des Problêmes solides de la neuvième Section, avec celles de la dixiême.

19. Si par la seule division l'équation déterminée peut être réduite à une équation du second degré, le Problême fera plan, & on le construira par le moyen de l'équation réduite à deux dimensions, comme on enseignera dans la Section suivante.

Si pour réduire l'équation déterminée à une équation du second degré, il faut employer la transformation; on pourroit encore le construire par le moyen de l'une des deux équations du second degré que l'on en tire : mais la construction en sera beaucoup plus simple, fi en abandonnant ce qui est dit dans la premiere Observation, on prend d'autres lignes pour inconnues, & que l'on en tire de nouvelles, selon qu'on le jugera necessaire, & que par ce moyen on puisse venir à une équation déterminée du second degré. Et si on n'y réuffit pas du premier coup, il faudra encore tenter d'autres voyes; car quand un Problême est fimple, on peut trouver une équation simple, & conforme à sa nature, soit d'une maniere, soit d'une autre,

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20. Si aucune des deux équations indéterminées ne se rapporte au cercle, & n'y peut être réduite par la combinaison de l'une avec l'autre, ou autrement ; & que l'équation qui résulte de l'évanouissement de l'une des inconnues, soit du troisième ou du quatrième degré, & ne puisse être réduite par la division, ou par la transformation à une équation du second degré; il faudra par fon moyen construire le Problême, comme il sera enseigné dans la dixiême Section: car il sera necessairement solide; & quand on chercheroit d'autres équations par d'autres voyes, elles ne pourroient être plus simples que par leurs termes, un Problême ne pouvant jamais changer de nature.

21. Enfin si l'équation qui résulte de l'évanouissement de l'une des deux lettres inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées, excede le quatrième degré, & n'y peut être réduite par la division; le Problême fera lineaire, & on le construira par le moyen des deux équations indéterminées, comme on le dira dans la douziême Section.

22. La raison de tout ceci, est que pour construire les Problêmes simples, & plans, on ne doit employer que la ligne droite & le cercle; puisqu'on le peut toujours. Et fi on les construisoit par le moyen des deux équations indéterminées que l'on trouve en employant deux lettres inconnues on y employeroit souvent d'autres courbes, qui ne sont pas si simples que le cercle.

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Pour construire les Problêmes solides dont les équations sont du troisième ou quatrième degré, on ne doit employer que le cercle, & une courbe du premier genre, puisque cela se peut aussi toujours.

Mais parceque pour construire les Problêmes lineaires, dont les équations excedent le quatrième degré, l'on ne peut faire servir le cercle; leur construction sera plus fimple par le moyen des deux équations que l'on trouve en employant deux inconnues, selon la premiere Obfervation, que de toute autre maniere: car, à mon avis, c'est en quelque façon gêner la Geometrie que d'y introduire,

souvent avec beaucoup de difficulté, de certaines courbes préferablement à d'autres qui se presentent naturellement, & dont la description est souvent très-simple: en quoi je voudrois que les courbes fussent préferées, sans avoir égard à leur genre, de la maniere qu'on le détermine ordinairement.

AVERTISSEMENT.

Lorsqu'on sçait qu'un Problème est simple, ou plan, il n'est point neceffaire d'avoir égard à la premiere Obfervation, ni d'employer deux lettres inconnues pour le refoudre. Il y a aussi des Problèmes si simples, qu'il n'y a aucune difficulté, ni pour nommer les lignes, ni pour trouver des équations.

Tout ce qu'on a dit dans cette premiere Section sera éclairci par toute la suite de cet Ouvrage, qui n'en est que l'Application, & un Commentaire.

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Où l'on donne la maniere d'exprimer Geometriquement les quantitez Algebriques, & de refoudre les Problémes simples, &) plans; ou ce qui est la même chose, de construire les équations déterminées du premier & du second degré.

V. N peut exprimer Geometriquement toutes les

met le moyen des quatre

operations suivantes, qui sont de trouver des troisièmes, quatrièmes & moyennes proportionnelles, & de tirer les racines de la somme, ou de la difference de deux ou de plusieurs quarrez.

ab

C

1. Pour exprimer Geometriquement ; ayant mené FIG. 3. une ligne droite AH, dont l'extrêmité A foit fixe, fait AB=c, AD=a, mené BC=b, qui fasse avec AB un

angle quelconque ABC, s'il n'est pas déterminé d'ailleurs,

ab

& mené ACG; la ligne De parallele à BC sera : car

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à cause des paralleles BC, DE, l'on aura AB (c). AD

(a):: BC (b). DE=

ab

=

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Ce seroit la même chose s'il faloit exprimer Geometriquement : car il n'y auroit

aa

C

qu'à faire BC=AD=a, après avoir fait AB=c; où l'on remarquera que toute quantité fractionnaire peut être regardée comme le quatrième terme d'une proportion, qui renferme les trois autres, & dont le dénominateur est le premier.

De même pour exprimer Geometriquement

aa+ab
c + d

aa+ab

ز

c+d aa + ab c+d

en réduisant en proportion l'on ac+d. a+b:: a. Faisant donc AB=c+d, AD=a+b, BC=a; DE parallele à BC, sera = Ce sera la même chose si l'on veut exprimer Geometriquement réduisant en proportion l'on a. c. a+b ::a-b.aa-bb

aa-bb

C

: car en

Semblablement, pour exprimer Geometriquement

aa

qui contient deux proportions, c. a :: a., & d. b

aab

cd

aa

C

C

aab

cd

aa

C

› l'on exprimera d'abord -, comme on vient de voir

pour les quantitez précedentes, & ensuite

ainsi des autres quantitez fractionnaires.

aab

一.

cd

Il en est

2. Pour exprimer Geometriquement Vab. Il faut pren

FIG. 10. dre sur une ligne droite AH, AD=a,& DB=b, & ayant décrit un demi cercle sur le diametre AB; la ligne DE perpendiculaire au point D, sera égale à Vab: car nommant DE, x; l'on aura a (AD). x (DE) :: x (DE). b (DB); donc xx=ab, & x= Vab. De même pour exprimer Vaa+ab, on voit que aa+ab, est la produite de a+b; par a. Ainsi ayant fait AD=a+b, & DB =a; DE, sera Vaa + ab.

Semblablement, pour exprimer Vaa-bb; puisque aa - bb, est le produit de a + b par a - b, en faisant AD=a+b, & DB=a-b; DE sera Vaa-bb. On peut encore exprimer autrement cette quantité, comme on va voir no. 3.

112

n

Pour exprimer - Vaa - bb; ayant trouvé, comme on vient de faire DE=Vaa-bb, & l'ayant nommée;c, l'on aura- au lieu de - Vaa-bb, & l'on trouvera (no. 1.)

m c

mc

m

n

FIG. 3. DE-, faisant AB=n, BC=m, & AD=c.

aa+bb

n

3. Pour exprimer Geometriquement Vaa+bb. Puisque est la somme de deux quarrez, il est clair que FIG. 11. si l'on décrit un triangle ABC rectangle en B, un de ses côtez AB étant nommé a, & l'autre BC, 6; l'hypothenuse AC sera =√aa+bb. Il ne seroit pas plus difficile d'exprimer la racine de la somme de plusieurs quarrez, comme Vaa+bb+cc, &c.

Pour exprimer Geometriquement Vaa-bb, qui est la difference de deux quarrez; il est évident qu'ayant décrit un triangle rectangle dont l'hypothenuse soit = a racine du quarré positif, & un des côtez = 6 racine du quarré negatif, l'autre côté sera = Vaa-bb. Ce qui se fait en FIG. 12. cette forte; soit décrit sur le diametre AB = a, le demi cercle ACB, & foit inscrit dans le demi cercle de la ligne AC=b, & mene CB; l'angle ACB, étant droit à cause

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