FIG. 43. FIG. 44. EXEMPLE VI. Theorême. 6. LES parallelogrammes BD, CE, & les triangles ABC, DCF qui ont mème hauteur AG, font entr'eux comme leurs bafes BC, CF. Ayant nommé BC, a; CF,b; & la hauteur AG, c; l'on aura ac au parallelogramme BD que je nomme, x, & beau parallelogramme CE, que je nomme y; il faut démontrer que x (BD). y. (CE) :: a. b. DEMONSTRATION. PUISQUE x = ac, & y = bc, l'on a x. y :: ac. bc; donc bexacy, ou bx=ay; donc x. ya. b. C.Q.F.D. C'est la même chofe pour les triangles. EXEMPLE VII. Theorême. 7.LES triangles femblables ABC, DEF, font entr'eux comme les quarrez de leurs côtez homologues AB, DE. Ayant nommé AB, a; BC,b; DE, c; EF,d; le triangle ABC, x; & le triangle DEF,y; les produits ab (AB × BČ), & cd (DE × BF) feront en même raifon que les triangles x ABC, & DEF, ou x, & y; c'est pourquoi l'on aura ab. cd:: x. y; donc cdx=aby: mais la reffemblance de ces triangles donne a. (AB) b :: (BC) :: c ( DE ) d . ( E F ) ; donc ad bc; donc d= b; & mettant cette valeur de = a = d dans la premiere équation, l'on aura beex L'on démontrera de même, que tous les polygones semblables font entr'eux comme les quarrez de leurs côtez homologues. Et comme les cercles font auffi des polygones femblables d'une infinité de côtez, dont les diametres font les côtez homologues ; il fuit que les cercles font entr'eux comme les quarrez de leurs diametres, ce que l'on démontre auffi facilement que pour les triangles femblables. EXEMPLE VIII. Theorême. 8. LES folides femblables font entr'eux comme les cubes de leurs côtez homologues. Soient deux Spheres AB & CD; ayant nommé le F 1 G.453 diametre AB de la Sphere AB, a; fa circonference c; 46. le diametre CD de la Sphere CD, b; fa circonference, d; la Sphere AB, x; & la Sphere CD, y. Il faut démontrer que x. y: a3, b. DE'MONSTRATION. 6 aac = LA Sphere AB eft égale à 4, & la Sphere CD=bbd; donc x. y::ac bbd :: aac. bbd; donc bbdx aacy: Mais les cercles étant des polygones femblables, leurs diametres font comme leurs circonferences; c'est pourbc; quoi a. b:: c. d; donc ad be; & partant d= mettant donc cette valeur de d dans la premiere équa T a tion, l'on a =aacy, ou b3 x=a'y; donc x. y :: a'. b. C. Q. F.D. a On démontrera la même chofe, & de la même maniere pour les autres folides femblables. 9. LES triangles ABC, DEF dont les bafes BC, EF, & F16. 47. les hauteurs AG, DH font en raifon reciproque, font égaux. Ayant nommé BC, a; EF, b; AG, c; DH, d, le triangle ABC, x; & le triangle DEF, y; l'on aura le triangle ABC = 44 =x, & le triangle DEF = bd x. y :: ac. bd :: ac. bd; donc bdx =acy: Mais (Hyp) a. b:: d. c; donc ac = bd; c'eft pourquoi la premiere équation bdx =acy acy devient x=y, ABC DEF. C. Q. F. D. =y; donc On démontrera de la même maniere que les parallepipedes, les prifmes, les cilindres, les cones & les pirami des, dont les bases & les hauteurs font en raison reciproque, font en raison d'égalité. On ne donnera pas davantage d'exemples de la Méthode de démontrer par l'Algebre les Theorêmes de Geometrie: car les quatre Sections fuivantes, où l'on démontrera les proprietez les plus confiderables des Sections coniques, en fourniront un affez grand nombre. FIG. 48, IX. I. 49, 5o. SECTION. IV. Des Sections du Cone & du Cilindre. DEFINITIONS N appelle Section Conique, une ligne courbe IDH, qui eft la commune Section d'un Plan EDF, & de la fuperficie d'un Cone ABC, dont A eft le fommer; & la bafe eft un cercle dont le diametre eft BC. 2. Le triangle ABC eft appellé le triangle par l'axe; parcequ'il eft la commune Section du Cone & du Plan qui paffe par le fommet A, & par le diametre BC de la bafe, & que l'axe du Cone, eft dans le Plan du même triangle ABC. SUPPOSITION. 3. ON fuppofe que le Plan EDF, eft perpendiculaire au Plan du triangle ABC, & que le plan du triangle ABC, eft perpendiculaire à la bafe du Cone. COROLLAIRE. 4. D'où il fuit que DG, qui eft la commune Section du Plan EDF, & du triangle ABC, eft perpendiculaire à EGF, qui eft la commune Section du même Plan EDF, & de la bafe du Cone; & que la même EGF, eft perpendiculaire à BC; & par confequent coupée ( Fig. 48 & 50.) par le milieu en G, d'où l'on conclura auffi que fi l'on mene par quelque point Z de la ligne DG, une ligne MN parallele à BC, & une autre ligne IH parallele à EF, ces deux lignes MN, & IH, feront dans un Plan parallele à la base du Cone, dont la commune Section avec la fuperficie du Cone, fera un cercle qui paffera par les points M, I, N, H, & dont le diametre fera MN, qui coupera à angles droits, & par le milieu en Z, la ligne IH. Il fuit auffi que le point D, qui eft commun à la courbe IDH, & au côté AB du triangle ABC, eft plus près du fommet A dans les fuppofitions précedentes, que tout autre point de la même courbe. 1. DEFINITIONS PARTICULIERES. 5.LA Section conique IDH, eft nommée parabole, FIG. 48. lorfque le Plan coupant EDF, eft parallele à un des côtez AC du Cone ou du triangle ABC, DG eft nommée l'axe de la parabole, D, fon fommet, DL, l'abciffe, ou la coupée ; IL, ou LH, l'appliquée, ou l'ordonnée à l'axe. 6. La Section conique IDH, eft appellée, ellipfe, lorf- FIG. 49. le Plan coupant EDF, coupe les deux côtez AB, AC du Cone où du triangle par l'axe, & n'eft point parallele à la base du Cone. La ligne Dd eft nommée l'axe, que で FIG. 50. ou diametre principal; le point K milieu de Dd, le centre; la ligne KR menée par le centre K perpendiculaire à Dd, l'axe, ou le diametre conjugué à l'axe Dd; DL, l'ab. ciffe ou la coupée; LI ou LH, l'ordonnée ou l'appliquée à l'axe Dd. Il peut arriver un cas où la Section eft un cercle, quoique le Plan coupant ne foit point parallele à la base du Çone: mais cela ne fait rien à notre deffein. 7. La Section conique IDH, eft appellée hyperbole, lorfque le Plan coupant E D F, coupe auffi la fuperficie conique oppofée, & y forme une autre hyperbole edf, oppofée à la premiere, que l'on démontrera ailleurs lui être égale, & femblable; Dd eft nommée l'axe déterminé de l'hyperbole, ou des hyperboles oppofées; D, & d, le fommet de l'axe Dd; DL, l'abciffe, ou la coupée; LI, ou LH, l'appliquée; ou l'ordonnée, le point K milieu de Dd, le centre. PROPOSITION I. Theorême. FIG. 48. 8. EN fuppofant les mêmes chofes que l'on a supposées dans la Figure où la courbe IDH eft une parabole; & outre cela, fi on mene DO parallele à BC, ou à MN; fi on prend AP DO, & qu'on mene PQ parallele à DO, ou à MN. dis que DLXPQ=LI=LH'. Je = Puifque le Plan coupant EDF eft ( no. 5.) parallele à 'AC, AP = DO fera LN; & ayant nommé les données AO, b; DO, ou AP, ou LN, c; PQ, p; & les inconnues' DL, x; & LI, y. Il faut prouver que px (PQ × DL)=yy ( LI3). DE'MONSTRATION. LEs triangles femblables AOD, DZM, donnent 40 (b). OD (c) :: DL (x). LM = : Or (n°. 4.), & par la proprieté du cercle ( LM × LN ) %% = (LI) = b yy: |