Imágenes de páginas
PDF
EPUB

be IMH étant donnée, on déterminera aisément la nature de la courbe IDH; & au contraire. De forte qu'il n'y a point de courbe que l'on ne puisse considerer comme la Section d'une espece de Cone ou de Cylindre, & déterminer par son moyen la nature de la courbe IMH parallele à la base de ce Cone, & de ce Cylindre; ou bien qu'il n'y a point de courbe, que l'on ne puifse supposer être la base d'un Cone, ou d'un Cylindre, & déterminer par fon moyen la nature des Sections de ce Cone, & de ce Cylindre. De maniere qu'on peut avoir non seulement une infinité de genres de Sections coniques, mais encore une infinité d'especes dans chaque genre, excepté dans le premier, qui ne renferme que quatre courbes, comme on a déja remarqué.

On s'est contenté de démontrer dans le Cone, la prin cipale proprieté des Sections coniques du premier genre, attendu qu'on en va démontrer dans les trois Sections suivantes, toutes les proprietez necessaires pour l'Application de l'Algebre à la Geometrie, en les décrivant par des points trouvez sur des Plans. On ne les a même confiderées dans le Cone que parcequ'elles y ont pris leur ori gine, & leur nom, pour faire voir que celles qu'on décrit sur des Plans, sont précisément les mêmes que celles qu'on coupe dans le Cone; & qu'on peut par consequent leur

donner les mêmes noms.

>

[blocks in formation]

Où l'on démontre les principales proprietez de la

Parabole décrite par des points trouvez

FIG. 53. X, U

fur un Plan.

PROPOSITION I.

NE

Theorême.

ligne droite DFP, & deux points fixes D, & F fur cette ligne, étant donnez de position fur un Plan. Je dis que si l'on mene librement la ligne MPm, perpendiculaire à DFP; & fi du centre F, & du rayon DP, l'on décrit un cercle; il coupera la perpendiculaire MPm, en deux points M&m, qui feront à une Parabole.

:

DEMONSTRΑΤΙΟΝ.

IL est clair qu'ayant divise DF par le milieu en A, le cercle décrit du centre F, & du rayon DA, touchera en A, la perpendiculaire menée par le point A, & ne rencontrera point celles qui seroient menées au-dessus de A par raport à F: mais qu'il coupera en deux points toutes celles qui seront menées au-dessous de A, comme MPm; d'où il suit que la courbe qui passe par les points M, m trouvez, comme on vient de dire, passe aussi par le point A.

Ayant mené FM, & nommé les données, ou constantes AF, ou AD, a; & les indéterminées, ou variaou a - x ; & FM,

bles AP, x; PM, y; FIP sera
ou DP, x+a.

x-a,

Le triangle rectangle FPM donne yy=aa+2ax+xx, qui se réduit à 4ax =yy, ou (en faifant 4a=p) px=yy. Or comme cette équation est la même que celle de l'article 9. no°. 8; il suit que la courbe MAm, est une parabole, dont le parametre est p = 4a =4AF=2FD. C. Q. F. D.

xx-2x + aa +

MAm,

L'équation px =yy peut être résolue par le cercle. Car F1 G. 54. ayant mené une ligne AB indéfinie, si vous prenez AD = p; & que d'un point quelconque C pris sur AB, & du rayon CA, vous décriviez le cercle AEG, qu'enfin du point D, vous meniez la perpendiculaire DE, cette ligne DE=y & DB=x. Car par la proprieté du cercle AD

× DB=DE. Or AD=p. Donc AD × DB=px, &

2

٦١٠٠

ED = yy. C'est-à-dire que DB=x & ED=y. Mais comme le rayon CA du cercle peut augmenter à l'infini, x & y augmenteront à l'infini ; & x augmentant, y aug

mentera.

COROLLATORE

IG.

1. IL est évident que 2 FD: PM:PM AP: car l'équa F16.53.
tion 4ax = yy, étant réduite en analogie, donne 4a.
y :: y. x.

COROLLAIRE II.

:

IG.

2. IL est clair que si l'on mene par Dla ligne ED paral- F16.536
lele à PM, & par les points M, m qui sont communs à la
parabole & à la perpendiculaire MPm, les droites ME,
me paralleles à PD, elles seront égales entr'elles, à PD,
& à FM, & que les parties PM, Pm de la perpendi-
culaire MPm, feront aussi égales.

: 1

DEFINITIONS.

3. LA ligne AP eft nommée l'axe de la parabole; A, FIG. 53.
le sommet de l'axe, ou de la parabole; PM, ou Pm
P'appliquée ou l'ordonnée; AP, Vabcisse ou la coupée; F,
le foyer; D, le point generateur; Ee, la ligne generatrice;
AB, quadruple de AF, ou de AD, le parametre de

l'axe.

L

,

COROLLAIRE III.

4. L'On voit par l'équation précedente 4ax = yy que * croissanty croît auffi; & qu'ainsi la parabole s'éloigne toujours de plus en plus de son axe à mesure que le point P s'éloigne du sommet A, & que cela peut aller à l'infini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini.

[blocks in formation]

5. D'O vil fuit que les lignes comme EM meneés paralleles à AP passent au-dedans de la parabole étant prolongées vers R, & ne la rencontrent qu'en un seul point M.

COROLLAIRE V.

6. SI dans l'équation 4ax=yy, l'on fait x=a, le point P tombera en F, & l'on aura 4aa=yy; donc 2a=y; c'est-à-dire que l'appliquée Fo qui part du foyer est égale à la moitié du parametre, & fi l'on fait x=4a, l'on aura 1 baa=yy, ou 4a=y, c'est-à-dire que AP, & PM feront chacune égale au parametre.

COROLLAIRE VI.

:

7. IL est manifeste que la quantité constante qui accompagne l'inconnue ou l'indéterminée qui n'a qu'une dimension dans un des membres de l'équation, est l'expression du parametre de l'axe de la parabole, lorsque le quarré de l'autre indéterminée est seul dans l'autre membre: par exemple dans cette équation=yy, est l'expression du parametre de l'axe de la parabole dont l'abcisse est x; & l'appliquée y.

PROPOSITIONIL
Theorême.

T

8. LES quarrez des ordonnées PM, QN font entreux F14.33.1

comme les abciffes correfpondantes AP, AQS

[ocr errors]

Ayant nommé comme dans la Propofition précedente

AB, 4a; AP, x; PM, y; & AQ, f; QN

Il faut prouver que PM2 (yy). QN2 (zz) :: AP(x). AQ(S).

DEMONSTRATΙΟΝ.

[ocr errors]

1

=

[ocr errors]

L'on a par la Proposition précedente 4ax
4af=zz; donc yy. zz :: 4ax. 4af x. f. C. QFD

1.1

[ocr errors]
[blocks in formation]

9. LES mèmes choses étant toujours fuppofées. Je dis que, fi d'un point quelconque m pris fur la parabole, on mene me parallele à PA, qui rencontrera la generatrice en e, & par le Sommet A, la droite AC parallele à De qui rencontrera em en C; le cercle mle décrit fur le diametre me coupera AC par le milieu en I.

Ayant nommé la donnée AD, ou eC, a; & les indéterminées AP, ou Cm, x; Pm, ou AC, y; & CI, f.

[ocr errors]

Il faut prouver que CI (f) = - AC (-9).

12

"

DEMONSTRATION.

T

L'On a par la premiere propofition 4ax = yy, & par

la proprieté du cercle ax (eC x Cm) =∫∫ (CI2), ου

I

4ax = 4//; donc y = 2, ou y=f. C. Q. F. D.

41

2

« AnteriorContinuar »