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PROPOSITION IV.

Theorême.

F. 19. 53. 10. E N fuppofant encore les mêmes chofes, fi l'on prend AG, menée par le fommet A parallele aux appliquées PM, pour l'axe de la parabole, & GM parallele à AP, pour l'appli quée, en nommant AG ou PM, x; GM, ou AP, y ; & le parametre 4AF, 4a. Je dis que 4AF × GM = AG'.

DE'MONSTRATION.
NSTRA

CI

t

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L'ON a par la premiere Propofition 4ay = xx. C. Q:

F. D.
DV

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L'on n'a mis ici cette Propofition que pour faire voir qu'il eft indifferent de prendre celui qu'on voudra des deux axes conjuguez pour l'abciffe, & l'autre pour l'appliquée; ce qui convient à toutes les courbes Geometriques, où les deux indéterminées forment toujours un parallelogramme que nous avons nommé (art. 3. no. 16.) le parallelogramme des coordonnées.

CAL

PROPOSITION

Problême.

V.

étant don

II. UNE équation à la parabole, bx = yy,
née, décrire la parabole, lorfque les coordonnées font perpen-
diculaires l'une à l'autre.

b, étant (n°7.) le parametre, x, l'abciffe, & y, l'appliquée de la parabole qu'il faut décrire, comme il est démontré dans la premiere Propofition.

Soit A le commencement de x, qui va vers P; & de y qui va vers B, ayant pris AB = b, & prolongé AP du

côté de A; on ́fera AF, & AD chacune égale à

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I

4

b

I AB, & l'on décrira une parabole A M par la

4

premiere Propofition qui fatisfera au Problême, & dont A fera le fommet, F le foyer, & D le point generateur.

DEMONSTRATION.

AYANT mené une ordonnée quelconque PM; AF

étant, b, AP, x; PM, y; FP, sera x

I

I

b, ou

— b—x ; & FM = PD (n°. 2. ), x + — 6. Et le trian

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12. SI l'on avoit nommé (Prop. 1.) DP, x ; & DF, a; l'on auroit trouvé 2axaa yy ; & fi l'on avoit nommé FP, x; & DF, a ; l'on auroit trouvé 2ax +aa = yy. Ce qui fait voir que lorfqu'une équation à la parabole a plus de deux termes, l'origine des inconnues n'est point au fommet de l'axe.

PROPOSITION

Problême.

V I.

XI. UN E parabole AM, dont l'axe eft AP, le fommet A, FIG. 55. le foyer F, le point generateur D, & la ligne generatrice EDH, étant donnée. On propofe de mener d'un point quelconque M, donné fur la parabole, la tangente MT.

Ayant mené par le point donné M la droite MH parallele à l'axe AP, & joint les points F, H; la ligne MOT menée du point M par le point O milieu de FH, fera la tangente cherchée,

DE'MONSTRATION.

PUISQUE (Art. 10. n°. 2.) MF = MH, & que FH eft coupée par le milieu en O; la ligne MO eft perpendiculaire à FH; c'eft pourquoi fi l'on prend fur MO prolongée ou non prolongée un point quelconque, d'où l'on mene GF, & GH, & GI parallele à AP, le triangle FGH fera isofcele: mais à cause de l'angle droit GIH, GH surpasse GI; c'est pourquoi GF furpaffe auffi GI ; & par confequent le point G eft hors de la parabole, & partant MO ne la rencontre qu'au point M, où elle la touche. C. Q. F. D.

= MH:

On peut ajouter pour confirmer cette Démonstration, que fi d'un point quelconque R pris au dedans de la parabole, on mene RF du point R au foyer, & RH parallele à AP qui rencontre la parabole en M, & la generatrice en H, la ligne RH furpaffera toujours RF: car ayant mené MF, elle sera (Art. 10. no. 2.) mais RMMF furpaffent RF; & partant RH furpaf fe RF; c'eft pourquoi puifque GF furpaffe GI, le point G eft hors de la parabole. On ne peut pas dire que le point G foit fur la parabole: car GF(=GH) feroit=GI. COROLLAIRE. I.

1. IL eft clair que MO prolongée rencontre l'axe AP auffi prolongé en 7: car l'angle FOT est droit, & l'angle OFT aigu.

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2. SI l'on prolonge HM vers R, & la tangente MO du côté de M vers S; l'angle RMS fera égal à l'angle

OMFOMH.

3.

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D'où il Ou il fuit par les loix de la Catoptrique que fi le foyer F étoit un point lumineux, les rayons refléchis à la rencontre de la parabole feroient paralleles à l'axe;

ou ce qui eft la même chofe, les rayons paralleles à l'axe venant d'un point lumineux infiniment éloigné, fe refléchiffant à la rencontre de la parabole, leurs refléchis passeroient tous au foyer F.

PROPOSITION VIL.

Theorême.

4. EN supposant la même chose que dans la Proposition précedente. Je dis que, fi l'on mene par le point touchant M, la droite MQ parallele à HF, qui rencontrera l'axe AP en Q, la partie de l'axe PQ, comprise entre le point, & l'ordonnée PM qui part du point M, fera égale à la moitié du parametre de l'axe de la parabole.

DE'MONSTRATION.

A Caufe des paralleles HF, MQ, & HM, FQ, les triangles MPQ, HDF font femblables & égaux, c'est pourquoi PQ DF=( Prop. 1.) à la moitié du parametre de l'axe.

=

DEFINITION.

5. LA ligne PT eft nommée foutangente, MQ ́perpendiculaire ; & PQ, fouperpendiculaire, ou founormale.

PROPOSITION VIII.

Theorême.

6. LES chofes demeurant dans le même état que dans la Propofition précedente. Je dis que la foutangente PT eft double de l'abciffe AP, comprise entre le fommet A & l'ordonnée PM qui part du point touchant M.

Ayant nommé comme dans la premiere Propofition les données AF, ou AD, a; PQ (no. 5.) 2a; & les variables AP,x; PM, y; PT, t.

Il faut prouver que t=2x.

L

DE'MONSTRATION.

L'ANGLE FOT étant (Prop. 6.) droit, l'angle QMT (no. 4. ) sera aussi droit, c'est pourquoi 2a (QP).ŷ (PM) :: y.t(PT); donc 2at=yy: Mais ( Prop. 1.) 4ax=yy; donc zat=4ax; & partant t=2x. C. Q. F. D.

7. Cette Propofition fournit un moyen aifé de mener une tangente à la parabole; car fi d'un point quelconque M, on mene l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axe AP; ayant fait ATAP, la ligne MT fera la tangente cherchée.

PROPOSITION IX.

Theorême.

FIG. 56. 8. UN E parabole AM dont AP eft l'axe ; A le fommet; F, le foyer; D, le point generateur; DE, la ligne generatrice. Si par un point quelconque M pris fur la parabole, on mene (no. 7.) la tangente MT, & par quelqu'autre point L, la ligne LG parallele à la tangente MT. Je dis que la ligne MR menée par le point touchant M parallele à l'axe AP, coupera GL par le milieu en O.

Ayant mené par les points L, M, 0, & G. Les lignes BLI qui rencontrent MR prolongée en I, MP, OC, & GRS perpendiculaires à l'axe AP, & nommé AF, ou AD, a, le parametre de l'axe fera (Art. 10.) 4a=4AF; AP, x; PM; ou BI, ou SR, y; AC, m; BC, ou 10, f; CS, ou OR, Z; AB fera, m—f; AS, m+z; CP, ou OM, m-x; & PT (n°. 6.), 2x.

a;

Il faut prouver que OGOL, ou ce qui revient au même OR=01, ou f=2.

DEMONSTRATION.

LES triangles femblables (Conft.) TPM, ORG, OIL, donnent les deux Analogies suivantes.

TP

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