TP (2x). PM (y) :: OR(z). RG—12, &

کرو

2X

TP (2x). P M (y) :: 01 (S). IL="; donc SG

I

`x (AP). m + z (AS) :: yy (P M2). yy → 2yyz+YYZZ

23

(SG'). & x (AP). m—[(AB) :: yy (PM2). yy 2yyf+yyss (BL2), d'où l'on tire ces deux équations

4xx

B. myyyyf=xyy — 2xyys→ xyy, & ôtant le pre

mier membre de la feconde équation B du premier mem bre de la premiere A, & le fecond de la feconde du fecond de la premiere, l'on a yyz+yys = 2xyyz+ 2xyys

2%

xyy, d'où l'on tire z=s, ou 0R=01;

donc OL=0G. C. Q. F.D.

Il peut arriver differens cas: car le point O s'éloignant de M, le point Z tombera en A, ou de l'autre côté de A par raport à M: mais on le prouvera toujours de la même maniere que z=f, OGOL; c'est pourquoi la Propofition eft generalement vraye.

DEFINITION S.

9. LA ligne MR parallele à l'axe AP est appellée FIG. 56% diametre, parcequ'elle coupe toutes les GL par le milieu

en 0; le point M,, le fommet du diametre MR; MO,

M

l'abfciffe, ou coupée; OL, ou OG, l'ordonnée, ou l'appliquée à ce diametre.

PROPOSITION X.

Theorême.

10.EN fuppofant les mêmes chofes que dans la Propofition précedente. Je dis que le quarré d'une ordonnée quelconque OL, ou OG au diametre MR, eft égal au rectangle de Pabfciffe MO par 4MF, ou (Art. 10. no. 2.), ayant prolongé OM en H, par 4MH.

Ayant nommé l'abfciffe MO, t; l'ordonnée OZ, ou OG, u; MF, ou MH, b; & les autres lignes comme dans la Propofition précedente.

Il faut prouver que 4bt=uu, (4MF × M0= OG2).

DEMONSTRATION.

SI l'on ajoute les deux premiers & les deux seconds membres des deux équations A & B de la Propofition précedente, après avoir mis en la place de ; puifque

(Prop. préced.)<=s; l'on aura 2myy = 2xyy →

2xyyzz

4XX

ou z=4mx — 4xx, ou 4tx, en mettant pour m— x = PC=MO : mais le triangle rectangle ORG,

yyzz

ou OIL donne zz (OR2) + (RG2. Prop. préced.)

fa valeur

=uu (OG2, ou O Z2), qui devient 4tx + 4at = uu en mettant pour z fa valeur 4tx, & pour yy ༢༢. (Prop. 1.) 4ax: mais xa = PD=MF=MH=b; donc en fubftituant b en la place de x+a dans l'équation précedente, elle deviendra 4bt=uu, ou 4MF × MO =OG2. C. Q. F. D.

DEFINITIONS.

=

=

11. LA ligne égale à 4b — 4MF — 4MH est nommée le parametre du diametre MO.

PROPOSITION X I.

Theorême.

12. UNE équation à la parabole ( ax =

à la parabole (ax=yy) dont les co

ordonnées x &y ne font point perpendiculaires, étant donnée, décrire la parabole.

а,

Soit M le fommet du diametre MO, dont le parame- FIG. 57. tre eft & l'origine des variables x, qui va vers 0, & y qui va vers K en faifant avec MO l'angle oblique OMK. Il faut décrire par M la parabole ZMG dont l'équation eft ax=yy.

=

MFMH

Ayant prolongé OM & pris MH=4a=( Prop. préced.) au quart du parametre du diametre MO, on menera par H la droite HE perpendiculaire à HO, qui fera (Prop. préced.) la ligne generatrice; & ayant fait l'angle KMF l'angle KMH, pris MF & mené par F la ligne FD parallele a MO qui coupera la generatrice HE en D. Par la Propofition précedente, & par la fixiême, F fera le foyer; FD, l'axe; D le point generateur, & A milieu de FD le fommet de l'axe de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la premiere Propofition.

Où l'on démontre les principales propriete de l'Ellipfe décrite par des points trouvez Sur un Plan.

FIG. 58. XII.

PROPOSITION I

U &

Theorême.

NE ligne droite AB, divifée par le milieu enC; & deux points fixes F, G également diftans du milieu C, ou des extrémitez A & B, étant donnée de grandeur & de pofition ; fi l'on prend entre F & G un point quelconque H, & que du centre F & du rayon AH; du centre G & du rayon BH, l'on décrive deux cercles; ces deux cercles fe couperont en deux points M, m de part & d'autre de la ligne AB; puifque leurs demi diametres furpassent FH + HG. Et je dis que les points M&m, & tous ceux qui feront trouvez de la même maniere, en prenant d'autres points H, feront à une Ellipfe dont C eft le centre, AB le grand axe, DE l'axe conjugué à l'axe AB, qui eft double de la moyenne proportionnelle entre AF & FB, ou AG & GB.

DE'MONSTRATION.

D'UN des points M, trouvez comme on vient de dire, ayant abbaiffé la perpendiculaire MP, mené F M & GM, & nommé les données AC, ou CB, a ; FC, ou CG, c; & les indéterminées CP, x; PM, y; AP fera, a―x; PB,a+x; FP ̧c—x ou, x— c ; & PG, c+x. Il est clair par la defcription que FM + MG=AB =2a; puifque F MAH, & MGHB; nommant donc la difference de FM, & MG, 2f; F M fera a-S & MG, a + f. Cela pofé.

CC

Les triangles rectangles FPM, GPM donneront,

2cx + xx + yy = da ―

=

cc + 2cx + xx + yy — aa + 2af+fs, & en ôtant la premiere de la feconde, le premier membre du premier & le second du second, l'on aura 4cx=4af, d'où l'on tire s==, & mettant cette valeur de f, & celle de son

сх

a

tire en réduisant, tranfpofant, & divifant par aa— cc ;

Mais lorsque le point P tombe en C, PM (y) devient CD, & ( x ) devient nulle, ou = 0; c'eft

quoi en effaçant le terme xx, l'on a aa

=

да

aayy

CC

pour

ou aa

+CD: nommant

-C

— cc = yy = CD2, & partant y donc CD, b; l'on a, aa— cc = bb; d'où l'on tire a— c (AF). b (CD) :: b (CD). a + c ( FB). Qui eft une des chofes qu'il faloit démontrer. Or mettant bb dans l'é

Et comme cette équation eft la

même que celle qu'on a trouvée (Art. 9. n°. 10.) il suit que la courbe ADBE est une Ellipfe. Ce qui eft une des autres chofes proposées.

Si dans l'équation aa — xx —

aura xx=aa; donc x=±a, ce qui fait voir que I'Ellipfe paffe par les points A & B. Et en faisant x = o l'on a trouvé y CD qui montre que l'Ellipfe AM passe auffi par les points D & E, en faisant CE CD; c'est

=

=