FIG. 59. pourquoi (Art. 9. n°.-6.) AB, eft le diametre principal de l'Ellipfe; DE fon axe conjuge, & C le centre. Ce qu'il faloit enfin démontrer. On peut réfoudre cette équation aa le cercle. Mais il faut la changer en celle-ci aa — cc = , puis faire cette analogie, B. a +x.y::y. yy a + x On fera enfuite cette aa autre analogie, D. a — x. a :: a. =u, & l'on aura aa ¢¢ = ༢༧. a1x Pour trouver toutes les inconnues, u, x, y, z, 1o. d'un rayon qui ne foit pas moindre que la moitié d'AB = 2a décrivez le cercle ABG, infcrivez-y la corde AB=2a, fur laquelle vous prendrez AD=a+c, = a+c,&DB=a—c par le point D menez une autre corde EG. Et parce que dans l'analogie D, a eft plus petit que z, il faut prendre DG u plus grand que 1⁄2 AB. =a, 2 = A préfent pour avoir x, à cause de l'analogie D, on aura xu = da, ou, au — aa—ux ; ainfi nous aurons cette analogie E. u. a :: a. x. On trouvera x en faifant FIG. 60. l'angle CAF, & prenant AF = u, BF u — a, AC les paralleles CF & BD menées, donnent DC=x. Enfin pour avoir y, menez, à caufe de l'analogie B, la ligne AB, fur laquelle vous prendrez AD = a + x ( AK + DC), DB=z. De C milieu de AE, & de l'intervalle AC ou CB, décrivez le demi cercle ALB, la perpendiculaire D L = y. FIG. 61. DEFINITIONS. FIG. 58. 1. LES points F & G font nommez les foyers de l'Ellipfe; CP, l'abciffe, ou coupée, & PM, ou Pm l'ordonnée, ou l'appliquée à l'axe AB, COROLLAIRE I. 2. IL eft clair que les lignes FM, GM menées des foyers à la circonference de l'Ellipfe font, par la description, ensemble égales à l'axe AB, & que PM = Pm. COROLLAIRE II. 3. IL eft auffi évident que le rectangle des deux parties AF, FB ou AG, GB de l'axe AB faites par un des foyers F, ou G, eft égal au quarré du demi axe conjugué DC: car dans la Démonftration précedente l'on a trouvé CD2. Or aa — cc = a + c x a ―c, AF × aa = 331 FB CD'. = COROLLAIRE III. ON voit par les termes de l'équation aa — xx = 4. aayy & par les fignes + & bb qui les précedent que x croiffant, y diminue: car plus x devient grande, plus aa -xx diminue, & par confequent auffi yy; puifque les quantitez constantes aa, & bb demeurent toujours de même grandeur; ce qui fait voir que les points M & m de l'Ellipfe, s'approchent d'autant plus de l'axe AB, que le point P s'éloigne de C. On voit auffi que l'on ne peut augmenter x que jufqu'à ce qu'elle devienne = a; auquel cas aa -xx devient = aa aa = 0; & quent auffi yo, ce qui fait voir que les points M & m fe confondent alors avec les points A & B, & que l'Ellipfe coupe l'axe en ces points, comme on a déja remarqué. COROLLAIRE IV. par confe xx= aayy étant ré 66 5. L'EQUATION à l'Ellipse aa duite en analogie donne aa—xx ( AP × PB). yy (PM2) :: aa ( AC2) . bb (CD2) :: 4aa ( AB2) 4bb ( DE2), c'està-dire que le rectangle des deux parties AP, PB de l'axe AB faites par l'appliquée PM eft au quarré de l'appliquée PM: comme le quarré de l'axe AB est au quarré de l'axe conjugué DE, COROLLAIRE V. 6. SI l'on fait AB ( 2a). DE ( 2b) : : DE ( 2b). 266, la = a I ligne 266 que je nomme p.p fera (Art. 9. n°. 13,) le parametre de l'axe AB. Or puifque a.b::b. p, l'on a auffi a. p:: aa. bb; donc abb = 1 aap 3 donc bb aa 24; C'est pourquoi fi l'on met dans l'équation aa aura aa aayy 66 aa - XX= , en la place de , fa valeur, l'on xx= 23; d'où l'on tire cette analogie aa - xx ( AP × PB). yy (PM2) :: za (AB). p, c'est-àdire que le rectangle des deux parties de l'axe faites par l'appliquée, eft au quarré de l'appliquée, comme le même est à fon parametre. axe, 7. COROLLAIRE. VI. IL fuit du Corollaire précédent que le rectangle de l'axe A B par fon parametre eft égal au quarré de l'axe conjugué DE; puifque AB. DE :: DE. p. COROLLAIRE VII. quoi l'on ferá fur l'équation à l'Ellipfe les trois remarques fuivantes, après avoir délivré l'un des quarrez inconnus qu'elle renferme de toute quantité connue. 9. REMARQUE I LORSQUE l'antécédent du raport qui accompagne un des quarrez inconnus de l'équation à l'Ellipfe eft égal & femblable au terme connu; où ce qui eft la même chofe, fi cet antécédent renferme les mêmes lettres que le le terme connu de l'équation; fa racine quarrée exprimera le demi diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & la racine quarrée du conféquent exprimera le demi diametre conjugué. REMARQUE I I. ra 10. LORSQUE cet antecedent eft le double de la cine quarrée du terme connu, il exprimera le diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & le conséquent exprimera fon parametre. REMARQUE III. EN tout autre cas ce raport marque le raport du diametre, dont une partie eft exprimée par l'autre inconnue, à fon parametre, ou le raport du quarré du même diametre au quarré du diametre conjugué. Tout cela eft évident (no. 6 & 8 ). 12. D'où il fuit qu'une équation à l'Ellipse renferme les expreffions des deux diametres conjuguez, qui forment le parallelogramme des coordonnées, ou de l'un de ces diametres, & de fon parametre, ou la raison du quarré de l'un des diametres au quarré de l'autre, ou enfin celle de l'un des deux à fon parametre: de forte qu'on aura toujours les deux diametres conjuguez par le moyen de l'équation. Par exemple, dans l'équation aa-xx-4 le terme FIG. 58. connu aa eft le quarré du demi diametre AC; l'antecedent aa du raport qui accompagne yy eft femblable & égal au terme connu aa; c'est pourquoi le conféquent bb eft le quarré du demi diametre conjugé CD à l'axe ou au diametre principal AC. Dans l'équation aa-xx 247, l'antecedent 2a étant double de la racine du terme connu aa; 2a fera le diametre AB, & P fon parametre: & partant, fi l'on fait 2a. p::aa. ap; ap fera — N = P myy l'expreffion du quarré du demi diametre conjugué CD ; & partant CD-Vap. Enfin dans léquation ad xx -—-—--m2, da exprime le quarré du demi diametre AC dont les parties CP font nommées ; & partant AB = 24. Mais pour avoir l'expreffion du demi diametre DE conjugué aú diametre AB, l'on fera m. n::aa."; & partant Vad➡CD, & √ da DE. Et pour avoir l'expreffion du parametre du diametre AB, l'on fera m. n:: 2A, 24, & cette quantité fera l'expression cherchée. m COROLLAIRE IX. 66 & l'on FIG. 58. 13. SI l'on nomme AP, x; BP sera, za...x, áură (no. 5.) iax — xx (AP × P.B). yy (P M') :: ad (AC). bb (CD'); donc 2ax-xx— **}} qui montre que lorsque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l'Ellipfe, il fe trouve des feconds termes dans son équation, & qu'une équation locale appartienquar dra toujours à l'Ellipfe, lorfqu'elle renfermera deux rez inconnus, l'un defquels ou tous deux feront accom pagnez de quelque quantité connue, & auront différens fignes dans les deux membres de l'équation, ou même figne dans le même membre, quelque mêlange de conftantes qu'il s'y rencontre, & pourvu que les deux inconl'autre. nues ne foient point multipliées l'une par COROLLAIRE X. 14.SI dans l'équation à l'Ellipfe aa — xx. — 2ax. xx -aayy dayy, ou a, ab, l'on aura aa—xx = yy ou 2ax — xx=yy; qui eft une équation au cercle, pourvû que les coordonnées x & y falfent un angle droit: car l'une & l'autre de ces deux équations donne AP × P B = PM' qui eft la principale propriété du cercle. D'où l'on voit auffi que l'équation à l'Ellipfe ne différe de celle du cercle, qu'en ce que l'un des quarrez inconnus est accompagné de quelque quantité connue dans l'équation |