EXEM P. L E III. SOIT la quantité 9aa + 12ab + 4bb dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puiffance Ayant fuppofé 9aa, ou 9a2 = p, & 12ab+4bb = q3 & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers m 2 m termes de la Formule p+mp q, l'on aura 9 a a a 1+ × 12ab+466: mais 9 2 ou √9 заф × 12ab+4bb, ou b + a bb, ou 3a+2a b + 1⁄2 a X bb: mais le second terme 2a b1b; c'eft pourquoi ce second terme eft le dernier, & le troifiême eft nul. Ainfi 944 94a+12ab+466 ou √9aa + 12ab+4bb= 3a+26. REMARQUE. 64. SI dans aucun terme la valeur de m, expofant de p, ne fe trouvoit pointo, la racine de la quantité propofée feroit irrationnelle, & l'extraction fe pourroit continuer à l'infini; ce qu'on appelle approximation des racines: mais cela n'eft point néceffaire pour l'application de l'Algebre à la Géometrie: car lorfque la racine d'une quantité eft irrationnelle, on fe contente de l'exprimer par le moyen du figne radical qui lui convient, comme on a déja dit, & comme on pourra voir dans la fuite. Pour Pour s'affurer fi on a bien extrait une racine, il eft bon de l'élever à fa puiffance: car s'il vient la quantité propofée, l'extraction aura été bien faite. Par exemple, l'on vient de trouver 3a+2b pour la racine quarrée de 9aa + 12ab+4bb. Or fi l'on multiplie 3a+26 par 3a+2b, l'on trouvera 9aa+12ab+4bb qui est la quantité proposée; c'est pourquoi l'extraction a été bien faite. REDUCTION Des quantitez irrationnelles à leurs plus fimple's expressions. 65. Il y a des quantitez complexes, comme d'incom plexes, dont on ne peut point extraire exactement la racine demandée : mais il arrive fouvent que ces quantitez font le produit de la puissance dont on veut extraire la racine par quelqu'autre quantité; & en ce cas on petit extraire la racine en partie, en mettant devant le figne radical la racine de cette puiffance, & l'autre quantité fous le figne radical. Par exemple, il est aifé de voir que aabaac n'eft point un quarré, & qu'on n'en peut par conféquent extraire la racine quarrée, qu'en l'écrivant fous le figne radical en cette forte Vaab + aac: mais on voit aifément que aab+ aac eft le produit de aa qui est un quarré, par b+c, ou que Vaab+aac =√aa × √b+c: or Vaaa; donc √aab + aac—a x √b+c=a√b+c; & c'est ce qu'on appelle extraire une racine en partie, ou plutôt ce qu'on appelle réduire une quantité irration nelle à fa plus fimple expreffion, ce qu'on doit toujours faire quand cela se peut, foit que les quantitez foient complexes ou incomplexes. Lorsqu'on ne voit pas par la feule inspection des termes, fi une quantité irrationnelle complexe ou incomplexe peut être réduite à une expreffion plus fimple, on l'examinera en cherchant ( no. 56. ou 57.) tous les divifeurs qui la peuvent exactement divifer, & s'il s'en trouve quelqu'un qui foit une puiffance du même nom que la racine qu'on veut extraire, la quantité propofée se pourra réduire à une plus fimple expreffion: car elle pourra être regardée comme le produit de cette puiffance, & du quotient qui vient en la divifant par la même puiffance. Par exemple, s'il faut extraire la racine quarrée de a3- zaab + 3abb-b3, en cherchant tous les divifeurs de cette quantité, on trouvera que aa- 2ab+bb, qui eft un quarré, en est un, & qu'en divifant a3 — 3aab + 3abb — b3 par 2ab+bb, il vient au quotient a-b; c'est pourquoi Va3 —zaab+3abb — b3 —√ aa— 2ab+bb × √a — b: or Vaa― zab+bba-b; donc Va3—zaab+3abb—b3 =a-bva b. Lorsqu'on trouve plufieurs divifeurs qui font des puis fances de même nom que les racines qu'on veut extraire, on ne fe fervira que du plus grand. 66. On ajoute, on souftrait, on multiplie, & on divife les quantitez irrationnelles comme les rationnelles ; & ces quatre operations fe font de la même maniere pour les unes & pour les autres: mais pour une plus grande facilité, il les faut auparavant réduire à leurs expreffions les plus fimples; & comme les quantitez irrationnelles ne different des rationnelles que par le figne radical qui cara&erife de maniere celles qu'il précede, que quand elles contiendroient les mêmes lettres que celles qui le précedent, elles ne leur feroient pas pour cela femblables; de forte que les quantitez qui font hors du figne radical, ne doivent point être mêlées dans aucune de ces quatre operations, avec celles qui font fous le figne radical. Il faut néanmoins remarquer que les quantitez irrationnelles font femblables, lorfque celles qui font fous les fignes radicaux, ne different en rien du tout les unes des autres, & lorfque celles qui font hors des fignes radicaux ne different de même en rien du tout, ou ne different que par leurs coéficiens. Ainfi 3a√a & za√a; za√a+b; & a√a+b; & √ax-xx, & Vax 4 xx, font des font des quan titez irrationnelles femblables. On fuppofe que le figne radical foit le même, ce qui arrive toujours dans l'Application de l'Algebre à la Géometrie. ADDITION Des quantitez irrationnelles. 67. ON les écrira de fuite, ou au-deffous les unes des autres avec les fignes qu'on leur trouve, & lorfqu'elles feront femblables, on en fera (no. 11.) la réduction comme fi c'étoit des quantitez rationnelles. Ainfi pour ajouter 2a√b avec za√b, l'on écrira 2a√b+ 3a√b, qui se réduit à Savb. Pour ajouter 3avb avec 2b, l'on écrira 3avb+ 2cvb, & il eft indifferent de laiffer ces quantitez en cet état, ou de les écrire en cette forte 3a+2cVb. Pour ajouter avax-xx avec b√ax-xx, l'on écrira avax + b√ax — xx, ou a + b vax -xx. Pour ajouter 3avb avec 2cvd, l'on écrira zavb+2cvd qui ne peut point avoir d'autre expreffion. SOUSTRACTION Des quantitez irrationnelles. xx 68. ON les écrira de fuite en changeant les fignes de celles qui doivent être fouftraites, & lorfqu'elles feront femblables, on en fera ( no. 11.) la réduction comme fi c'étoit des quantitez rationnelles. Ainfi pour fouftraire 3avb de savb, l'on écrira savb— 3avb qui se réduit à 2avb. Pour fouftraire 3av2b de 56V26, l'on écrira sbvzb 3a√2b, ou 56-34v26. Pour fouftraire 2bvaxxx de 3b√ax-xx, l'on écrira 3b√ax — xx+2b√ax — xx qui fe réduit à 5b√ax-xx. Pour souftraire 2cvd de 3avb, l'on écrira zavb-2cvd, qui ne peut avoir d'autre expreffiom: MULTIPLICATION Des quantitez irrationnelles. 69. SI les quantitez que l'on veut multiplier sont incomplexes, l'on multipliera la partie rationnelle par la rationnelle, & la partie irrationnelle par l'irrationnelle, & l'on écrira le produit des parties rationnelles devant le figne radical & le produit des irrationnelles après, & l'on réduira le produit total à son expression la plus fimple. Ainfi avb× cvbacvbb: mais vbbb; donc acvbb=abc; d'où l'on voit que lorfque les parties irrationnelles font femblables, il n'y a qu'à multiplier le produit des rationnelles par ce qui fe trouve fous le figne radical. De même avb × √c, ou avb × IVC (car on prend l'unité pour partie rationnelle, lorfqu'il n'y en a point d'autre) a√bc; 2a√b × 36, ou = = 6abvb; 2a√bc × b√ ab 2a√b × 3b√1 = =2ab√abbc Gaby 18abbc18abby zac; a√2b × 2b√3c zab√6bc. Vab × Vab —Vaabb; za√ab × 3 b√ aa— Gab√ a b 6aabvb. Il en eft ainfi des autres. = 70. Si les quantitez que l'on veut multiplier font complexes, on multipliera tous les termes de l'une par chacun de ceux de l'autre, en fuivant les regles des quantitez incomplexes, & la Réduction des produits particuliers étant faite, l'on aura le produit total. =aa + bb; Vaa-bb x - Vaa— Ainfi Vaa + bb × √aa+bb=aa + bb; √āa —— aa + bb; 2a√aa + bb x b√ aa+bb = za3b + zab3. Ceci est évident; car lorfque la même quantité fe trouve fous le figne radical ✓, en ôtant le figne radical, cette quantité le trouve multipliée par elle-même. Ce qu'on peut encore prouver en cette forte : Vaa+bb × √aa+bb |