20 & 21, une Méthode pour demontrer très-facilement toutes les proprietez des proportions, & des progreffions tant arithmetiques que geometriques : mais elle n'eft pas affez generale, & ne convient qu'aux grandeurs proportionnelles; c'est pourquoi je me fuis déterminé à prendre une autre voye, qui convienne tout à la fois, non feulement aux grandeurs proportionnelles, mais encore à tous les Theorêmes que l'on fe propofe de démontrer par l'Algebre dans toutes les parties des Mathematiques. Voici le principe. PRINCIPE. 28. APR E's avoir nommé les quantitez qui doivent entrer dans la question par des lettres, l'on écrira l'Hypothese en équation, & la confequence auffi en équation; & en fuivant les trois Axiomes précedens, & leurs Corol laires, on fera en forte de rendre l'Hypothese semblable à la confequence, & alors le Theorême fera démontré. Et fi les termes de l'équation qui renfermera la confequence, se trouvent entierement femblables; de forte de forte que par la réduction, elle puiffe devenir oo. Le Theorême fera auffi démontré: car les termes d'une équation ne sçauroient être entierement femblables fans être égaux, & ne fçauroient se détruire fans être semblables. EXPLICATION DU PRINCIPE. 10. UN Theorême contient deux parties, l'Hypothese & la Confequence; l'Hypothefe eft ce que l'on y fuppose; & la Confequence eft la verité qu'il s'agit de démontrer. 20. Le principe demande qu'on écrive toujours l'Hypothese en équation. Souvent l'Hypothefe renferme cette équation, ou une proportion qu'il eft aifé de changer en équation: car fi l'on a, a. b:: c. d, l'on aura (no. 11.) a—b c-d, fi la proportion est arithmetique, & a fi la proportion eft geometrique, puifque proportion n'est autre chofe que l'égalité de deux raports. 30. Si l'Hypothese ne renferme ni équation ni proportion, on égalera les quantitez qu'elle renferme à d'autres lettres prifes arbitrairement, & l'on aura par ce moyen des équations, comme on verra par les Exemples. 4o. On tirera de l'Hypothese autant d'équations qu'on pourra : car cela ne peut que faciliter les moyens de rendre I'Hypothese semblable à la Consequence. d Lorfqu'il s'agit de démontrer quelques proprietez touchant les grandeurs inégales, & touchant les raports inégaux, l'on exprimera l'Hypothefe, & la confequence par le moyen du figne>, ou, en cette forte a > ou <6,-> ou <-, & on fe fervira de ces expreffions, que l'on pourroit appeller inégalitez, comme fi c'étoient des équations: car il est clair qu'on peut ajouter, foustraire, multiplier, & divifer les deux membres de ces inégalitez par une même quantité, ou par des quantitez égales, les combiner, comme on voudra avec des équations, les élever à des puiffances, en extraire les racines; en un mot, on peut les traiter à la maniere des équations, pourvû qu'on ne les combine point ensemble, ( fi ce n'est par addition & par multiplication : car quoique 1 2 > 8 & 6 > 1, a 12-68 — 1 & 2) fans que le membre le plus grand ceffe d'être le plus grand, de forte qu'on aura les mêmes moyens de rendre l'Hypothese femblable à la Confequence, ou la Confequence femblable à l'Hypothese, que fi c'étoit des équations, & de démontrer par confequent toutes les proprietez des raports inégaux, de la même maniere que celle des rapports égaux. l'on 50. Il eft quelquefois à propos & même neceffaire, pour rendre plus facilement l'équation qui renferme l'Hypothese semblable à celle qui renferme la Confequence, de nommer les grandeurs proportionnelles, comme nous avons dit no. 19, 20, 21 & 22; & de nommer par les mêmes lettres les quantitez inégales qui ne font point proportionnelles, en caracterifant les unes par quelque figne, ou par quelque lettre qui fasse voir leur inégalité. Par exemple, fi l'on veut démontrer quelque proprieté qui convienne à trois grandeurs differentes A, B, C; ayant nommė A, a, au lieu de nommer B, b; & C, c; on peut nommer B, ma, (m fignifie multiple, ou foumultiple) ou a±p; & C, na (n fignifie multiple, ou foumultiple, different de m), ou a+p+r, en fe fervant du figne+ou felon que les quantitez qu'on veut exprimer, font moindres, ou plus grandes que celle qui est exprimée par la premiere lettre a. Ce qu'on dira dans la fuite des raports & des proportions, fe doit entendre des raports & proportions geometriques, à moins qu'on n'avertiffe que c'eft des raports & proportions arithmetiques qu'on veut parler. 29. SI quatre grandeurs a, b, c, d, font en proportion geometrique, le produit des extrêmes fera égal au produit des moyens. Il faut prouver que fi a. b: c. d, l'on aura ad = bc. L'on a par l'Hypothese a. b::c. d; donc ( no. 11.) .: or il eft clair (Axio. 1. Coroll. 4.) qu'en ôtant les fractions, on aura ad = bc, qui est semblable à la Confequence. C. Q. F. D. b C d 30. On prouvera de même que dans une proportion continue le produit des extrêmes eft égal au quarré de la moyenne. Ainfi fi a. b:: b. c, l'on aura ac=bb. Ce Theorême fournit un autre moyen dont nous nous fervirons dans la fuite, de changer une proportion en équation. COROLLAIRE S. Ier. 1. IL fuit que connoiffant trois des termes a, b, c, d'une proportion, on pourra toujours trouver le 4e que je nomme x: car puifque (Hyp.) a. b:: c. x, l'on aura (n°. 29.) bc; donc en divifant toute cette équation par a, l'on aura x= d'où l'on voit que la valeur de bc divi ax = bc a me = ab; 2o. De même dans la proportion continue, connoiffant les extrêmes a & b, on trouvera la moyenne que je nomcar puifque (Hyp.) a. yy. b, l'on aura yy y; & partant (Axio. 2.) y=+Vab; c'eft pourquoi la racine de la valeur de ab fera la valeur de y. Les valeurs negatives ne fatisfont point aux Problêmes. On en expliquera l'usage ailleurs. Λ THE ORE ME II. 31. LES racines des produits qui forment chaque membre d'une équation font reciproquement proportionnelles, c'est-àdire qu'en prenant les racines d'un des membres pour les extrêmes, & les racines de l'autre pour les moyens, ces quatre racines formeront une proportion. ab df Soit l'équation abcdfg. Il faut prouver que ab. df :: g.c, ou afin que la confequence foit en équation car l'équation ne peut être vraye que la proportion ne le foit auffi. En divifant toute l'équation abc = g dfg, par ge, l'on 1er. ON peut tirer de la même équation abc dfg plu fieurs autres proportions, & les démontrer de la même maniere, pourvû qu'on prenne les extrêmes dans un membre, & les moyens dans l'autre, & qu'on garde la Loi des Homogenes, c'est-à-dire que les termes de chaque raport ayent un pareil nombre de dimensions : par exemple, on en peut tirer .d: fg. bc; b. fdg. ac, &c. mais quoiqu'on le puiffe, on n'en doit pas tirer a. df::g. bc: car on compareroit des quantitez de differens genres, comme une ligne avec un plan. Il en eft ainfi des autres. a. 2e. Il eft clair qu'afin qu'une équation puisse être ré duite en proportion, il faut que chaque membre foft le produit de deux quantitez qui fe puiffe féparer par la divifion; c'eft pourquoi il eft fouvent neceffaire de la changer d'état pour la réduire en proportion. Par exemple, on ne peut réduire cette équation xx = ax+bb en proportion dans l'état où elle eft : car le second membre ne peut être divifé par aucune quantité: mais en transposant, l'on a xx ax=bb, bb, d'où l'on peut tirer x. b:: b.x-a. De celle-ci xx aa bb, on peut tirer ab. xx. a+b. De celle-ci xx=aa+bb, ou xx-aa-bb, on peut tirer x — a. b :: b. x+a. Mais pour changer celle-ci xx=aa bc en proportion; il faut changer bc en un quarré, ou aa en un rectangle dont un côté foit b, ou c; faisant donc, par exemple, bc dd, l'on aura xx aa— dd, d'où l'on tire a-d. xx. a+d. Il en eft ainfi des autres. ab C 3e. Il fuit auffi qu'un raport ou une fraction comme est un des termes d'une proportion, & renferme les trois autres car faisant —=x, l'on aura en multipliant par ab ab C e, ab=cx ; donc (no. 31.) c. a :: b. x, ou c. a :: b. en C 4o. Il fuit auffi des deux Theorêmes précedens que fi quatre grandeurs a, b, c, d, font proportionnelles, c'està-dire que a. b:: c. d, elles feront auffi proportionnelles dans les quatre variations fuivantes. 1. a. cb. d, ce qu'on appelle, permutando. 2. b. a: d. c, ce qu'on appelle, invertendo. 3. a+b.bc+d.d, ce qu'on appelle, componendo. 4. a—b. b:: c — d. d, ce qu'on appelle, dividendo. Car fi les équations que l'on tirera (no. 29. ) de ces quatre analogies font vrayes, les analogies le feront auffi. "Or la premiere & la feconde analogie donnent ad=bc', la troifiéme donne ad + bd = bc + bd, & la quatriéme ad -bdbc-bd: mais l'Hypothese a. b:: c.d,donne ad=bc, |