lettres dans l'application de l'Algebre à tous fes ufages, c'eft 10. qu'après avoir fait quelques-unes des operations dont on vient de parler fur les lettres, on en connoît non feulement le résultat, mais on connoît & on diftingue en même tems toutes les quantitez qu'il renferme; ce qui n'eft point de même dans les réfultats des mêmes operations faites fur les nombres.

20. Que les quantitez inconnues entrent dans le calcul auffi-bien que les connues, & que l'on opere avec la même facilité fur les unes que fur les autres.

30. Que les Démonstrations que l'on fait par le calcul algebrique font generales, & qu'on ne fçauroit rien prouver par les nombres que par induction.

C'eft précisément en ces trois chofes que confifte le grand avantage qu'on tire du calcul algebrique dans fon application à toutes les parties des Mathematiques, qu'on en démontre tous les Theorêmes, & qu'on en réfout tous les Problêmes avec autant de facilité qu'il y auroit de difficulté à faire les mêmes chofes felon la maniere des Anciens.

On s'eft accoutumé à employer les premieres lettres de l'Alphabet a, b, c, d, &c. pour exprimer les quantitez connues, & les dernieres m, n, p, q, r, s, t, u, x, y, z ,,༢ pour exprimer les inconnues. I

1. Outre les lettres qu'on employe dans l'Algebre, il y a encore quelques autres fignes qui fervent pour mar quer les operations que l'on fait fur les mêmes lettres. Ce figne+, fignifie plus, & eft la marque de l'Addition. Ainfi a+, marque que b eft ajoutée avec a.

a.

Ce figne—, fignifie moins, & eft la marque de la SouItraction. Ainfi a—b, marque que b eft fouftraite de Celui-ci, fignifie fois, ou par, & eft la marque de la multiplication. Ainfi axb, marque que a & b, font multipliées l'une par l'autre.

On néglige très-fouvent ce figne, parcequ'on eft convenu que lorfque deux ou plufieurs lettres font jointes enfemble fans aucun figne qui fépare ces lettres, où les

quantitez qu'elles expriment, font multipliées, par exem ple ab marque affez que a & b fe multiplient: mais on s'en fert toujours pour marquer que deux quantitez exprimées par des lettres majufcules de l'Alphabet, fe mul tiplient, Ainfi AB CD; marque que la grandeur exprimée par AB eft multipliée par la grandeur exprimée par CD. On employe encore le figne de multiplication en d'autres occafions qu'on trouvera dans la fuite.

Ce figne, fignifie égal, & marque qu'il y a égalité entre les quantitez qui le précedent, & celles qui le fui vent. Ainfi a6 marque que a eft egale à b.

Celui-ci fignifie plus grand. Ainfi a> b marque que a furpafle b.

Celui-ci

fignifie plus petit. Ainfi ab, marque que a eft moindre que b.

Celui-ci ∞ fignifie infini. Ainfi x∞, marque que x eft une quantité infiniment grande.

2. Les lettres de l'Alphabet font nommées quantitéz algebriques, lorfqu'on les employe pour exprimer des grandeurs fur lesquelles on veut operer.

3. Les quantitez algebriques font nommées fimples, incomplexes ou monomes, lorfqu'elles ne font point liées enfemble par les fignes + & -; a, ab, 2 &c. font des quantitez incomplexes.

4. Elles font nommées compofees, ou complexes, ou polynomes, lorfqu'elles font liées enfemble par les fignes + &—; ·; a + b, ab + bb, ab bccd, b font des quantitez complexes.

a+bb

5. Les parties des quantitez complexes diftinguées par les fignes &- font nommées termes. ab+bc+ cd, eft une quantité complexe, qui renferme trois termes, ab, bc & cd. Il y a quelques remarques à faire fur le mot de terme qu'on trouvera ailleurs.

6. Les quantitez complexes qui n'ont que deux termes font nommées binomes; celles qui en ont trois, trinomes,

&c.

7. Les quantitez incomplexes qui font précedées du

figne, ou plutôt qui ne font précedées d'aucun figne car les quantitez incomplexes, & les premiers termes des quantitez complexes qui ne font précedées d'aucun figne font fuppofées être précedées du figne +) font nommées pofitives, & celles qui font précedées du figne - négatives; d'où il fuit que les quantitez complexes font pofitives, lorfque les termes qui ont le figne+furpaffent ceux qui ont le figne; négatives, lorfque les termes précedez du figne-furpaffent ceux qui font précedez du figne+.

8. Les quantitez incomplexes, & les termes des quantitez complexes qui contiennent les mêmes lettres font nommées femblables. 2abc & abc font des quantitez incomplexes femblables; 3aab—2aab+4abb est une quantité complexe qui renferme deux termes femblables zaab &aab; le troifiéme terme 4abb, n'a point de femblable.

pre

9. Pour s'appercevoir plus facilement de la fimilitude des quantitez algebriques, il faut toujours écrire les mieres lettres de l'Alphabet les premieres, & les autres dans leur ordre, c'eft-à-dire par exemple, qu'au lieu d'écrire bac, ou cab, il faut écrire abc.

o. Les nombres qui précedent les quantitez algebriques font nommez coefficiens.

Dans cette quantité aa + 3ab + 4bb, 3 & 4 font les coefficiens des termes 3ab, & 4bb. L'on prend l'unité pour coefficient des quantitez qui ne font précedées d'aucun nombre, & quoique l'on n'ait point accoutumé de l'écrire, on la doit neanmoins toujours fuppofer. Ainfi aa doit être regardée comme s'il y avoit 1aa.

REDUCTION

Des quantitez complexes algebriques à leurs plus
fimples expreffions,

11. IL faut ajouter les coefficiens des termes semblables; lorfqu'ils ont le même figne + ou -, & donner à la fomme le même figne : & lorsqu'ils ont differens fignes,

il faut fouftraire les plus petits coefficiens des plus grands, & donner au refte le figne du plus grand. Ainfi zab+ 2ab étant réduite, devient sab; 4ac + 4ab 6ab devient 4ac-zab; 3a-sa devient-2a; 3abc-abc, ou 3abc-1abc, devient 2abc. Il en eft ainfi des autres.

Dans tous les calculs algebriques, il ne faut jamais laiffer de termes femblables fans être réduits.

12.

ADDITION

Des quantitez algebriques incomplexes & complexes.

.IL n'y a qu'à les écrire de suite, ou au-dessous les unes des autres avec leurs fignes, & réduire enfuite les termes femblables, & l'on aura la fomme des quantitez qu'il falloit ajouter ensemble. Ainfi pour ajouter 3ab — 4bc + scd avec zab-3 cd, l'on écrira 3ab 46c+ scd + zab —3cd, 3cd, qui fe réduit à sab —4bc+2cd. Pour ajouter sabc-4bcd avec 5abd-8abc+ 6bcd, l'on écrira sabc-4bcd+5abd—8abc+ 6bcd, qui se réduit à sabd ·3abc+2bcd. Pour ajouter 6a—36 avec 2a+36, l'on écrira 6a ·36+za+36, qui fe réduit à 8a. Il en eft ainfi des autres.

SOUS TRACTION

Des quantitez algebriques incomplexes & complexes. 13. Il n'y a qu'à les écrire de suite, ou au-dessous l'une de l'autre en changeant tous les fignes de celles qui doivent être fouftraites; & l'on aura après la réduction des termes femblables, la difference des quantitez propofées.

Pour fouftraire 3a2b+3c de sa—36—5c, l'on écrira sa 5a-36-5c-3a+26—37, qui fe réduit à 2ab-8c. Pour fouftraire 3ab2bc+2cd de 5 ab — 4bc + +2cd, l'on écrira sab-4bc2cd — 3 ab→ 2bc — qui fe réduit à zab-2bc. Il en est ainfi des autres.

·2cd,

MULTIPLICATION

Des quantitez algebriques incomplexes, & de leurs

puissances.

14. ON eft convenu que pour multiplier deux ou plufieurs lettres, il n'y a qu'à les écrire de fuite fans aucun figne qui les fépare, & l'on aura le produit cherché. Ainfi pour multiplier a par b, l'on écrira ab. Pour multiplier par ac, l'on écrira aabc. Il en eft ainfi des autres.

ab

Il y a fouvent des nombres, ou coefficiens qui précedent les quantitez algebriques qu'il s'agit de multiplier; il faut auffi avoir égard à leurs fignes. Voici la regle qu'il faut fuivre.

15. On multipliera les coefficiens, enfuite les lettres, & on donnera au produit le figne + fi les deux quantitez font précedées du même figne + ou -, & on lui donnera le figne —, fi l'une des quantitez est précedée du figne+ & l'autre du figne.

x

Pour multiplier 3a par 26, on dira trois fois deux font fix, a par b fait ou donne, ou est égal à ab; ainsi l'on aura 6ab pour le produit de 3a x 2b. De même 3ab X - zab 6aabb. ·3ab x- 2cd=6abcd. 5ab × cd, ou Icd= Sabcd. adb x abb = aaabbb, ou ab3 : car a3b3 lorfque la même lettre fe trouve plus de deux fois dans un produit, on l'écrit feulement une fois, & l'on écrit à fa droite un caractere arithmetique qui exprime combien de fois cette lettre doit être écrite. Ainfi pour aaaa, l'on écrira a'; pour aaabbb, l'on a écrit a b'; on peut auffi pour aa écrire a'; pour bb, b3, &c.

DEFINITION.

16. LE caractere arithmetique qui marque combien de fois une lettre doit être écrite dans un produit, eft nommé expofant. Ainfi dans a3b*, 3 eft l'expofant de a,&4, celui de b; dans a'b, 3 eft l'expofant de a, & i l'expofant de b: car quand une lettre eft feule, ou qu'elle ne doit être écrite qu'une fois dans un produit, on doit fuppofer