fois à propos en Arithmétique de fe contenter d'indiquer la multiplication pour reconnoître plus aifément les facteurs du produit. On appelle facteurs les nombres ou quantités algébriques, de la multiplication defquels réfulte le produit dont il s'agit.

36. Quand on veut marquer qu'une grandeur eft divisée par une autre, on met celle que l'on regarde comme dividende au deffus d'une petite barre horizontale, & celle que l'on regarde comme diviseur au deffous de la même barre. Par exemple, défigne que la grandeur ab est divisée par

ab

C

bcd

la quantité c; de même marque le quotient de bed divisé par gf.

gf.

=

37. Lorfqu'on verra ce signe précédé d'une quantité, & fuivi d'une autre, cela voudra dire que ces quantités font égales; c'eft pourquoi on le nomme figne d'égalité: ainfi ab cd, fignifie que le produit ab eft égal au produit cd.

38. Les deux quantités algébriques différentes, entre lefquelles fe trouve le figne d'égalité, font nommées ensemble Equation; ainfi a=b, ay=bx, cd +xx = bb,y="b font des équations.

ab

L'on appelle membres de l'équation, les quantités qui fe trouvent de part & d'autre du figne d'égalité. Ainfi les quanrités abc, dfx font les membres de l'équation abc= dfx, dont abc eft le premier membre, & dfx le fecond.

39. Si l'on a un produit qui résulte de la multiplication d'une même lettre plufieurs fois par elle-même, comme aaa, aaabbb, on peut abréger cette expreffion en écrivant cette lettre une feule fois, & mettant un peu au deffus, vers la droite, un nombre qui marque combien de fois cette lettre fe multiplie par elle-même, ou, ce qui revient au même, combien de fois on auroit dû l'écrire : ainsi au lieu de a aa on écrit a3; au lieu de aabb on écrit a2b2; au lieu de

a362

c2d2 ·

Ce nombre eft appellé expofant.

aaabb

ccdd

on écrit

40. Si un même produit doit être pris un certain nombre de fois, on écrit au devant le nombre qui défigne combien de fois il le faut prendre. Ainfi 3ab marque que l'on prend trois fois le produit ab, sab2 défigne que l'on prend cinq fois la

B

grandeur ab2. Ce nombre eft appellé coefficient; il faut bien fe garder de le confondre avec celui que nous appellons expofant. b3 eft totalement différent de 3b, & ne peut jamais lui être égal. Un exemple en nombre fuffit pour en voir la différence. Suppofons que = S on aura 363 × 5 = 15, &

b3

=5×5×5 = 125.

b

41. On fe fert quelquefois des expofans pour marquer le quarré ou le cube d'une ligne défignée dans une figure. A B2 marque le quarré de AB, A B3 marque le cube de la même ligne.

gran

42. Quand une quantité algébrique a été multipliée une fois, deux fois, trois ou quatre fois par elle-même, &c, le produit qui en réfulte eft appellé puissance ou degré; ainfi a ou a1 eft nommé premiere puiffance ou premier degré de la deur a; aa ou a2 feconde puiffance, ou fecond degré, & fouvent le quarré de a; de même aaa ou a eft le troifieme degré, la troisieme puiffance, & quelquefois le cube de a; enfin aaaa ou a le quatrieme degré, la quatrieme puiffance de a, ou bien le quarré-quarré de la même grandeur, puifqu'il réfulte de la multiplication du quarré a2 par lui-même. Il en eft ainfi des

autres.

43. Une puiffance peut être regardée comme le produit d'une certaine puiffance par une autre puiffance; ainsi as est le produit de a3 ou de la troifieme puiffance de a par

la feconde.

par a2

44. Il peut auffi y avoir des puiffances faites du produit

de deux ou plufieurs lettres multipliées l'une par l'autre; car fi l'on multiplie ab par lui-même une fois, le produit aabb fera la feconde puiffance de la quantité ab: de même a3b3 est. le cube de la même grandeur.

45. Le nombre ou la grandeur algébrique de la multiplication, de laquelle réfulte une puiffance, eft appellé racine, & il y a autant de racines que de puiffances; ainfi a eft la racine quarrée de a2, la racine cube de a3, la racine cinquieme de a, &c; de même ab2 eft la racine cube de a3b6; abc eft la racine quatrieme de a+b+c+.

46. Les quantités algébriques font appellées incomplexes ou monomes, lorfqu'elles ne font pas jointes enfemble par les

a g

fignes + & —; ainfi ab, cd, bb, ff font des quantités incomplexes ou monomes. Monome fignifie qui n'eft compofé que d'un feul terme; au contraire lorfqu'elles font liées enfemble par les fignes + & -, on les appelle complexes ou polynomes, c'est-à-dire qui ont plufieurs termes. Ainfi be+ ad, ef gh, aab — bcd, + "+", ab + cd abcd-ac font des quantités complexes ou polynomes. Si les quantités algébriques n'ont que deux termes, on les appelle quelquefois binomes, & trinomes lorfqu'elles en ont trois; mais au delà elles retiennent le nom général de polynomes; dans le dernier exemple, ab, cd, ac font les termes de la quantité complexe ab cd-ac.

a

47. Lorfqu'une quantité algébrique n'eft précédée d'aucun figne, on fuppofe toujours qu'elle a le figne+, & alors on l'appelle quantité pofitive, pour la diftinguer de celles qui font précédées du figne que l'on appelle quantités négatives: + ab est la même chofe que a b, & est censé positif : bc, font des quantités négatives.

ac,

48. Lorfqu'une quantité n'a point de coefficient, ni d'expofant particulier, on lui fuppofe toujours l'unité pour coefficient & pour expofant. Ainfi ab eft la même chofe que 1a'b', abc eft le même même que la1b'c', & ainfi de toutes les autres.

49. Lorfque des quantités incomplexes ou les termes d'une quantité complexe contiennent précisément les mêmes lettres, on les appelle des quantités femblables: ainfi 3ab & 2ab, 5ac & zac font des quantités femblables. Il faut bien remarquer que la fimilitude des quantités algébriques ne dépend ni des fignes, ni des coefficiens, comme on le voit ces exemples, mais feulement des lettres & du nombre de fois qu'elles font écrites. Pour reconnoître plus aifément la fimilitude de plufieurs termes, on obfervera dans les produits de mettre les lettres dans leur ordre naturel ou alphabétique; ainfi l'on écrira abc, & non pas cab, nibca.

PREMIERE REGLE

par

Pour réduire les Quantités algébriques à leurs moindres termes.

50.Quand on a des quantités algébriques complexes, qui renferment des termes femblables, il faut ajouter les coeffi

ciens de ceux qui ont le même figne, & donner le même figne à leur fomme, afin de réduire la quantité proposée; ainfi 4ab zac + zab 3ac fe réduit à 6ab5ac, 28abd+ 15acf +8abd+7acf=36abd + 22acf.

51. Quand les quantités femblables ont des fignes différens, il faut foustraire le plus petit, coefficient du plus grand, & donner à la différence le figne du plus grand. Par exemple, pour réduire cd+6ab +4aa 4ab, on écrira cd+4aa +2ab en ôtant 4ab de 6ab; de même zab+5cd+3ab7cd fe réduit à sab 2cd.

52. Enfin lorfque deux termes font égaux, & qu'ils ont des fignes différens, ils fe réduisent à rien; ainfi ab + 2cd -a2b=2cd, puifque — ab fouftrait de ab donne o

différence..

SECONDE REGLE.

o pour

ADDITION des Quantités algebriques incomplexes & complexes.

53. Pour ajouter ensemble des quantités algébriques, qui ne font précédées d'aucuns fignes, il faut les écrire de suite, & les lier avec le figne+: ainfi pour ajouter les quantités ab, ac, ad, on écrira abac+ad; de même la fomme des quantités ef, gh, mn est égale à ef+gh+mn.

54. Si les quantités que l'on veut ajouter font complexes,, on les écrira de fuite avec leurs fignes, & après avoir réduit les termes semblables, on aura la fomme de ces quantités. Par exemple, pour ajouter zaab 3acd avec acc + 5acd 6aab, on écrira zaab zacd+acc + 5acd — 6aab', ce qui fe réduit à acc + 2acd- 4aab. Pour ajouter 6add+ 5aac: -4abb avec zaac — - zabb, l'on écrira 6add+saac 4abb +2aac zabb qui se réduit à 6add— 6abb +7aac. Enfin pour ajouter abc-ddc dcc avec dcc -abc +3ddc, on écrira, dec + dcc — abc +3ddc qui fe réduit à 2ddc. En général dans l'Addition algébrique, foit des monomes, foit des polynomes, on écrit les quantités à la fuite les unes des autres avec leurs fignes, & l'on fait après la réduction des quantités femblables, s'il y en a..

abc ddc

SOUSTRACTION des Quantités algébriques incomplexes & complexes.

55. Pour fouftraire une quantité algébrique d'une autre, il faut l'écrire à la fuite de celle dont on l'a fouftrait, en changeant les fignes de cette quantité, c'est-à-dire en mettant+ où il y a, & où il y a + il faut enfuite faire la réduction des quantités femblables, s'il y en a.

Par exemple, pour fouftraire bb de a a, je l'écris à la fuite de a a avec le figne - , parce qu'il est censé avoir le figne+, & la différence eft aabb. De même pour fouftraire c+d de a+b, il faut changer les fignes de c+d, & écrire a+b d qui fera la différence demandée. Pour fouftraire b-d de a +c, on écrira a+c-b+d. Pour fouftraire 2bb 3cc de aa + bb, on écrira aa+bb 2bb+3cc, & réduifant, on aura aa bb3cc. Enfin pour fouftraire ab dc+bb. заа de aa dc3bc bb, on écrira aa — - dc ab + dc bb+3aa, ce qui donne, en réduiab, il en feroit de même des autres.

+3bc-bb
fant, 4aa3bc2bb

Eclairciffement fur la Souftraction littérale.

Il n'eft pas difficile de concevoir pourquoi on change le figne+, exprimé ou fous-entendu en —, car c'eft en cela précisément que confifte la Souftraction * ; mais prefque tous les Commençans font furpris de voir qu'il faut changer les fignes de — en+, cependant cela eft facile à comprendre, fi l'on fait attention que pour ôter bd d'une tité quelconque a+c, il ne faut pas ôter b tout feul, puifque ce feroit trop ôter de toute la quantité d, b étant plus grand que bd de la même quantité d; donc puifque l'on auroit réellement ôté d, en écrivant-b, il faut le remettre en écrivant + d.

quan

Mais comme on entendra mieux ceci par les nombres fuppofons qu'il faille retrancher du nombre 12 la quantité 62. Selon la regle, il faut écrire 12-6+ 2, dont la différence eft 8; car comme 6 - 2 eft égale à 4, l'on voit qu'on ne peut retrancher que 4 de 12, & que par conféquent au lieu de 4 on en retranche 6, il faut rendre à 12 la quan

* Art. 34.