je fçais qu'il doit y avoir deux chiffres, c'eft réellement 40 que je pofe, dont le cube cft 64000, que je retranche de 10383, & le refte eft 39823. Je triple enfuite le quarré de 4, & je divife 398 par 48, comme fije divifois 39823 par 4800, puifque le 8 eft pofé fous le premier chiffre de la feconde tranche. Or il eft certain que le quotient qui doit me venir eft le second terme de la racine, puifque le triple du quarré du premier terme par le fecond doit avoir deux chiffres après lui: d'ailleurs j'ôte encore le triple du quarré du fecond par le premier, par la maniere dont je pofe le produit du triple du premier terme par le quarré du fecond, en l'avançant d'un rang vers la droite, puifque ce produit ne doit avoir qu'un chiffre après lui, & enfin j'ôte le cube du fecond terme. D'où il fuit que j'ai ôté du nombre propofé toutes les parties qui forment un cube, & fi le cube eft parfait, il ne doit rien refter après la fouftraction de la fomme de ces trois produits. Si le cube eft imparfait, on prend toujours le plus approchant, à quelque défaut près, mais on eft affuré qu'il ne s'en faut pas d'une unité que la racine ne foit celle qu'on cherche par l'épreuve que l'on fait, puifque fi l'on augmentoit d'une unité, le cube de la racine feroit plus grand que le nombre propofé.

On appliquera le même raifonnement à une racine de tant de chiffres que l'on voudra, puifque l'on peut regarder les chiffres trouvés comme le premier terme de la racine, & celui qui refte à trouver comme le fecond, en regardant le nombre propofé comme s'il ne contenoit que deux tranches.

La preuve de l'extraction des racines quarrées & cubiques fe fait en élevant les racines trouvées au quarré ou au cube: fi le nombre propofé étoit un quarré ou un cube parfait, on doit trouver en multipliant la racine une ou deux fois par ellemême un nombre égal au premier; fi les nombres ne font pas des quarrés ou des cubes parfaits, en ajoutant le reste avec la même puiffance de la racine, on doit retrouver le nombre propofé.

De Extraction des Racines quarrées & cubiques, des Fractions numeriques.

186. Pour extraire la racine quarrée d'une fraction numérique, il faut extraire la racine du numérateur & du dénomi

nateur,

nateur, & des deux racines en faire une nouvelle fraction, qui fera la fraction demandée : ainfi la racine deeft, & ainfi des autres. La raison eft, que l'on éleve une fraction au quarré, en multipliant le numérateur par lui-même, ainsi que le dénominateur. Ainfi pour en extraire la racine, il faut prendre celle du numérateur & du dénominateur.

187. Quand le dénominateur de la fraction n'eft pas un quarré, on multiplie le numérateur & le dénominateur par ce même dénominateur: de cette maniere la fraction n'a pas changé de valeur, & de plus le dénominateur est un quarré parfait, ce qui contribue beaucoup à déterminer exactement la valeur de la racine fractionnaire. Ainfi pour extraire la racine quarrée de, je multiplie 3, & 8 par 8 pour avoir la fraction dont la racine eft à peu près, puifqu'en l'élevant au quarré il vient, qui ne differe de la fraction que de. De même la racine de ou de eft, ou à peu près: quand on veut les avoir encore plus exactement, il faut chercher une fraction décimale égale à la fraction propofée, & en extraire la racine, suivant les regles ordinaires.

24

64.3

512

729

188. De même pour extraire la racine cube d'une fraction numérique, il faudra chercher celle du numérateur & celle du dénominateur: par exemple, la racine deeft ou; de même celle de eft. Si le dénominateur n'étoit pas un cube parfait, on multiplieroit les deux termes de la fraction par le quarré du même dénominateur pour avoir la racine cube que l'on demande avec plus de précifion; tout ceci est évident par la formation des puiffances des fractions.

Où l'on traite des raisons ou rapports, proportions & progreffions géométriques & arithmétiques, des Logarithmes, de la réfolution analytique des Problêmes du premier & fecond degré, & de leurs opérations.

DÉFINITIONS.

189. ON appelle homogenes les grandeurs de même nature,

comme deux lignes, deux furfaces ou deux folides, deux espaces ou deux tems, &c.

190. Les grandeurs qui ne font pas de même nature, font appellées grandeurs hétérogenes: ainfi une toife & une livre de monnoie font des grandeurs hétérogenes: ainfi qu'une ligne & une furface, ou bien un folide & un tems, parce ces grandeurs ne peuvent pas fe contenir l'une l'autre, n'étant pas de

même nature.

191. On appelle raifon ou rapport de deux ou de plufieurs grandeurs, la comparaifon que l'on peut faire de ces grandeurs entr'elles. Ainfi pour déterminer combien il peut y avoir de fortes de raisons ou de rapports, il faut examiner en combien de manieres on peut comparer une grandeur à une autre.

192. 1°. On peut comparer une grandeur à une autre, en examinant combien cette grandeur furpaffe celle à laquelle on la compare, ou de combien elle en eft furpaffée, & cette comparaison est appellée raison ou rapport arithmétique. Ainfi fi je

NOUVEAU COURS DE MATHÉM. Liv. II. 107. confidère de combien 15 eft plus grand que s le nombre 10 que je trouve, en retranchant 5 de 15, eft le rapport arithmétique de 15 à 5, que l'on marque ordinairement ainsi, 15-5; & de même en Algebre ab eft le rapport arithmétique de a à b. D'où il fuit qu'en général on peut toujours connoître le rapport arithmétique de deux grandeurs par la Souftraction, puifque c'eft par cette opération que l'on peut connoître de combien l'une furpaffe l'autre.

peut

193. 2°. On peut comparer une grandeur à une autre, en examinant combien Pune contient l'autre, ou y eft contenue, & cette comparaifon eft appellée rapport géométrique. Ainfi dans la comparaison que je fais de 12 à 4, je puis examiner combien de fois 12 contient 4; & dans celle de a à b, je puis examiner combien de fois a contient b, & comme on ne le fçavoir que par la Division, ce rapport se marque ainsi, 47, ; car on peut prendre une divifion indiquée pour la divifion même, ou pour le quotient qui résulte de leur divifion. Ainfr lorfqu'il eft befoin, on peut fe fervir de ces termes, divifion indiquée, quotient, fraction, raifon ou rapport géométrique, puifque tous fignifient la même chofe ou le même nombre. Le quotient de 12 divifé la fraction eft 3, le rappar 4 eft 3; port géométrique de 12 à 4 eft encore 3. Il faut remarquer encore que comme l'on fe fert plus communément dans les Mathématiques de rapport géométrique, on dit tout fimplement rapport, pour exprimer le rapport géométrique de deux grandeurs.

IZ

194. Les grandeurs qui ont entr'elles un rapport de nombre à nombre, font appellées commenfurables, parce qu'elles ont au moins l'unité pour commune mefure: par exemple, une ligne de quatre pieds eft dite commenfurable avec une ligne de neuf pieds, parce que le rapport de ces deux lignes

eft celui des deux nombres 4 & 9.

195. Les grandeurs qui n'ont point un rapport de nombre à nombre, ou qui ne peuvent avoir de mefures communes, fi petites qu'elles foient, font nommées incommenfurables. Par exemple, fi l'on a quarre de 16 pieds, & un autre de 32 pieds, la racine du premier quarré fera incommenfurable avec celle du fecond: car comme 32 n'eft point un quarré parfait, fi près que l'on puiffe approcher de ce nombre, il y aura tou

jours quelque refte; & cette racine fera incommenfurable avec celle de 16, puifque l'on ne pourra jamais la déterminer exactement marsup slar uns alleg

196. Dans un rapport quelconque arithmétique ou géométrique, il y a toujours deux termes, le premier eft appellé antécédent, & le fecond confequent; dans le rapport de 12 à 4, 12 eft l'antécédent, & 4 eft le conféquent; dans celui de a à b, a eft antécédent, & b conféquent, ole six coug 197. Une raison est égale à une autre, quand l'antécédent de l'une contient autant de fois lon conféquent que l'antécédent de l'autre contient le fien. Par exemple, la raison de 12 4 eft égale à celle de 15 à 5, parce que i 2 contient 4 autant de fois que 15 contient 5, fçavoir trois fois. Cette égalité de raifon fe marque quelquefois ainfi, —; & fi a a même rapport avec b que cavec d, l'on peut encore exprimer cette égalité de rapport, en mettant, qui fait voir que les quatre grandeurs ab & cd forment deux rapports géométriques égaux.

198. Comme cette expreffionou représentent également des rapports géométriques des divifions & des fractions: on remarquera que lorfqu'il s'agira de rapport, on appellera le terme qui eft au deffus de la ligne, antécédent, & le terme qui eft au deffous, conféquent ; & que quand il s'agira de divifion, le premier fera appellé dividende, & le fecond divifeur; & qu'enfin lorfqu'il s'agira de fraction, le premier fera appellé numérateur, & le fecond dénominateur.

le confé

199. On appelle raifon d'égalité celle où l'antécédent eft égal au conféquent, & raison d'inégalité, lorfque les deux termes font inégaux; ce qui peut arriver de deux manieres: la premiere, quand l'antécédent eft plus grand que quent, & pour lors on nomme cette raifon, raifon de plus grande inégalité, & lorfque l'antécédent eft plus petit que le conféquent, on l'appelle raifon de moindre inégalité.

200. Deux rapports égaux forment ce que l'on appelle une proportion; fi les deux rapports égaux font arithmétiques, la proportion eft arithmétique; files deux rapports égaux font géométriques, la proportion eft géométrique. Ainfi dans route proportion il y a quatre termes, puifque chacun des deux rapports en a deux. Il y a proportion arithmétique entre