Comme l'on vient de trouver u= 4 4 a+e+d-b y= b+c+da problême eft réfolu, puifque fi l'on divise 1460 — 500 par 4, l'on trouvera 240 pour la valeur qui est égal àa++ b — d de u, faifant de même pour les autres, l'on trouvera 300 pour la valeur de x, 260 pour celle de y, & 180 pour celle de z. Ainfi il y a eu 240 Allemands de tués, 300 Anglois, 260 Hollandois, & 180 Efpagnols; ce qui eft bien évident, puifque ces nombres répondent aux conditions du problême. HUITIEME QUESTION. Un Sergent de Sapeurs s'eft trouvé à 32 fieges, & à plufieurs batailles, où il a reçu plufieurs bleffures: le Roi lui propour met de lui accorder la gratification qu'il lui demandera fes fervices. Le Sergent demande au Roi de lui donner en argent la fomme des gratifications qu'il auroit eu, en fuppofant qu'on lui eût donne une livre pour la premiere bleffure, 2 liv. pour la feconde, 4 livres pour la troifieme, & ainfi de fuite en doublant toujours. Le Roi lui accorde fa demande, & il reçoit 65535 livres on demande combien il a reçu de bleffures. Pour réfoudr cette question, je la dépouille de tout ce qui lui eft étranger, & je la réduis à ce qu'elle a de plus fimple; je vois que le nombre 65535 eft la fomme des termes d'une progreffion géométrique, dont le premier terme eft 1, le fecond 2, & dont la raifon eft auffi 2, ou, ce qui eft la même chofe, que ce même nombre eft la fomme de plufieurs puiffances fucceffives de 2, dont la derniere, augmentée de l'unité, marque le nombre des termes de la progreffion. Je fais attention enfuite, que fi j'avois le dernier terme de cette progreffion, il me feroit aifé d'en connoître le nombre, puifque ce dernier terme est égal au premier, multiplié par la puiffance de 2, exprimée par le nombre des termes qui précédent (art. 248). la J'appelle x ce dernier terme, & je fais encore attention que fomme des antécédens eft celle de tous les termes, excepté ce dernier, & que la fomme des conféquens eft la même fomme de tous les termes, excepté le premier, qui eft 1. Or (art. 250) la fomme des antécédens eft à la fomme des conféquens, comme un feul antécédent est à fon conféquent. Aisfi en exprimant cela analitiquement, & appellant s le nombre 65535, qui est la fomme des termes de la progreffion, j'aurai S― x. s — 1 :: 1. 2, d'où l'on tire, en faifant le produit des extrêmes & des moyens, 25 2x = SI, & dégageant il vient x = 2 69536 = 32768, qui montre que le dernier terme de la progreffion eft 32768, qui eft certaine ment une puiffance de 2. Pour fçavoir à quelle puiffance de 2 ce nombre eft égal, j'éleve 2 à fes puiffances fucceffives, & je trouve qu'il eft égal à la 15° puiffance de 2 : donc ce terme est le 16, puifque le nombre 15 qui marque la puiffance de 2 à laquelle ce terme eft égal, marque auffi le nombre des termes qui le précédent : ainfi ce Sergent avoit reçu 16 bleffures. REMARQUE. La même proportion, qui nous a fervi à réfoudre cette queftion, peut auffi fervir à la folution de toutes les questions que l'on propofe fur les progreffions géométriques, & particuliérement dans la fommation des mêmes fuites: pour en faire fentir encore mieux l'utilité, nous allons l'appliquer à la folution du probleme fuivant. PROBLEM E. 305. Trouver la fomme des termes d'une progreffion géométrique décroiffante à l'infini, dont le premier terme eft a, & le Second b. SOLUTION. Puifque le nombre des termes eft infini, & que d'ailleurs la progreffion eft fuppofée décroiffante, le dernier terme pourra enfin être regardé comme zero: ainfi la fomme des antécédens fera la fomme de tous les termes, moins zero; la fomme des conféquens fera la fomme de tous les termes, moins le premier: donc appellants cette fomme, on aura (art. 250.) la fomme des antécédens eft à la fomme des conféquens, comme le premier terme au fecond, ou analitiquement so. s-a:: a.b, d'où l'on tire as - abs, ou as—bsa, & dégageants, il vient s = ; ce qui fignifie qu'en général la fomme des termes d'une progreffion géométrique a2 ab par 2.I. 2 4 1 décroiffante à l'infini, eft égale au quarré du premier terme, divifé la différence du premier au fecond. Par exemple, fi l'on veut fommer tous les termes de cette progreffion ., &c; j'éleve 2 à fon quarré, qui eft 4, que je divife par 2-1, qui eft 1 : ainfi la fomme des termes de cette progreffion cft 4. D'où il fuit, que toutes les fractions ,,,ne valent qu'un, en les pouffant jufqu'à l'infini. De même si l'on a 3.1...,&c, je cherche le quarré de 3,qui est 9, que je divise par 3—1 ou 2, & j'ai la fomme des termes de la progreffion s= 4: d'où il fuit que tous les termes ,,,, &c. ne valent que, puifque les deux premiers termes font 4. Il en eft ainfi des autres progreffions, fur lef quelles il est aifé de faire l'application de la formule générale. I I ་ I 9 2 = De la réfolution des Equations du fecond degré. DÉFINITIONS. ap 306. Les équations que nous venons de réfoudre, font pellées équations du premier degré, ainsi que les problêmes, dont elles expriment les conditions, parce que les inconnues n'y font point multipliées par elles-mêmes, ni les unes par les autres: mais fi cela arrivoit, l'équation qui feroit dans ce cas, feroit plus compliquée que les précédentes, & feroit appellée du fecond, troificme, quatrieme degré, felon que l'inconnue y feroit élevée à la feconde, à la troifieme ou quatrieme puiffance. Par exemple, xx 2ax = 30, eft une équation du fecond degré, x3 — 5x2 + 7x+12=15, eft une équation du troifieme degré. Nous ne parlerons ici que des équations du fecond degré, & après les avoir réfolues fur quelques exemples dans des cas particuliers, nous les réfolverons en général dans les formules qui comprennent tous les cas poffibles de ces fortes d'équations. REMARQUE. 307. Les regles que l'on doit fuivre pour mettre un problême du fecond degré en équation, font précisément les mêmes que celles que nous avons donné pour les autres problêmes: le tout confifte à bien exprimer analitiquement les conditions énoncées ou renfermées dans la queftion; ce qui dépend plutôt de la fagacité de celui qui réfout le problême, que d'aucune regle générale que l'on puisse établir. le 308. On remarquera encore avant toutes chofes, que quarré d'une grandeur quelconque peut avoir le figne + ou à fa racine, c'est-à-dire que ce quarré aa, peut réfulter de + a multiplié para, ou de-a x-a, puifque l'un & l'autre donne également a au produit: d'où il fuit qu'en général une équation du fecond degré doit avoir deux racines, l'une que l'on appelle négative, parce qu'elle eft précédée du figne & l'autre qu'on appelle pofitive, parce qu'elle eft précédée du figne +. L'état de la queftion détermine ordinairement celle que l'on doit prendre; mais on ne doit point, furtout dans les commencemens, rejetter les valeurs négatives, fans avoir auparavant examiné ce qu'elles peuvent fignifier, parce qu'elles ne réfolvent pas moins le problême, que celles que, fon appelle pofitives, quoiqu'elles ne le réfolvent pas dans le fens qu'on s'étoit propofé d'abord; & parce que d'ailleurs ces folutions nous découvrent toujours des vérités auxquelles on n'auroit peut-être jamais penfé, fi l'on n'y eût été conduit par l'analyfe. On verra dans la fuite des exemples fenfibles de ce que nous disons, dans les problêmes que nous allons réfoudre. PREMIERE QUESTION. 309. Un Soldat va rejoindre fon Régiment, dont il eft éloigné de 64 lieues, il fait une lieue le premier jour, trois le fecond, cinq le troifieme, & ainfi de fuite en augmentant toujours de deux lieues: on demande combien il fera de jours à rejoindre fon Régiment? Pour réfoudre cette question, je la dépouille encore de tout ce qui lui eft étranger (car c'eft ainfi que l'on accoutume fon efprit aux idées générales; & d'ailleurs cette regle eft de la derniere importance pour trouver les équations des problêmes avec facilité). Je remarque que la question fe réduit à trouver le nombre des termes d'une progreffion arithmétique, dont le premier eft 1, le fecond 3, & la fomme eft 64. Et pour généralifer encore davantage le problême, je fuppofe que le premier terme de la progreffion eft a, le fecond b, & la fomme s. Jappelle x le nombre des termes, & d l'excès de b fur a. Je fçais que la fomme des termes d'une progreffion arithmétique eft égale au produit de la fomme des extrêmes, multipliée par la moitié du nombre des termes (art. 238). Je connois le pre mier extrême, qui eft a, mais je ne connois pas le dernier; 2 ctnd-d = x2 = 6 /= x = Vaderax d zaxdxx dx 2 24 24x d 25 dx d 25 2 x= où xx+x×2 I= 2. Pour faciliter encore 25 d le calcul, je fuppofe que le coefficient du fecond terme, qui eft est -1, eft égal à une feule lettre c, & au lieu de xxxx -1, j'ai xx+cx=2, & c'eft là la forme la plus fimple que puisse avoir une équation du second degré à deux termes. Préfentement pour rappeller cette équation à celles du degré, il n'y a qu'à faire enforte que le premier membre foit premier un quarré parfait, dont on puiffe extraire la racine; & voici comment cela fe pratique. On ajoute à chaque membre de l'équation le quarré de la moitié du coefficient de x au fecond terme : ainfi je prends la moitié du coefficient de x, qui eft , dont le quarré eft que j'ajoute à chaque membre; ce qui me donne la nouvelle équation xx+cx+ 25 il vient x+c=±√cc+, & transposant &c, tres, il vient d |