DEMONSTRATION.

Soit nommé AF ou AEx, ABa, CE fera auffi a, AC fera a+x, & FB fera a-x. Cela pofé, par la propofition 13, on a AC:AB:: AB: AE, ou AF;, & en termes analytiques, a +x: a :: a:x, & faifant le produit des extrêmes & des moyens, il vient aaax+xx, faifant paffer enfuite ax du fecond membre dans le premier, il vient aa - ax ⇒xx, ou a-xxaxx, d'où l'on déduit cette proportion a:x::x:a-x, ou A B: AF:: AF: FB. C.Q. F. T. & D. AF:FB. C.Q.F.T.

Fin du cinquieme Livre.

DILE
Surla State
Du Ro

222

NOUVEAU COURS

DE

MATHÉMATIQUE.

LIVRE SIXIEME,

Qui traite des Polygones réguliers, infcrits & circonfcrits au cercle

452.

DÉFINITIONS,

I.

ON dit qu'un polygone régulier ou irrégulier eft inscrit

au cercle, lorfque tous les fommets de fes angles font à la circonférence du cercle.

II.

453. On dit qu'une figure rectiligne, réguliere ou irréguliere eft circonfcrite au cercle, quand chacun de fes côtés touche la circonférence du cercle, ou autrement, quand chaque côté est une tangente au cercle.

III.

454. On appelle polygone régulier, une figure dont tous les angles & les côtés font égaux entr'eux, & polygones fymétriques, ceux dont les côtés oppofés font égaux, & paralleles deux à

deux.

IV.

455. Un polygone régulier fe nomme pentagone, lorsqu'il a cinq côtés; exagone, quand il a fix côtés, eptagone, quand il

NOUVEAU COURS DE MATHEM. Liv. VI. 223 en a fept; octogone, quand il en a huit, ennéagone, quand il en a neuf; décagone, quand il en a dix; & enfin ondecagone ou dodecagone, quand il en a onze ou douze.

V.

456. Comme tout polygone régulier peut être infcrit dans un cercle, on diftingue dans tout polygone régulier deux fortes d'angles, les angles du centre, & les angles du polygone ou de la circonférence.

VI.

457. L'angle au centre eft un angle, comme BAC, formé Planche IV. deux rayons A B & AC, tirés du centre aux extrêmités d'un Figure 70. des côtés du polygone.

par

VII.

458. L'angle du polygone,eft un angle comme BCD, formé par la rencontre des deux côtés BC & CD du même polygone.

COROLLAIRE.

459. Comme l'angle du centre du polygone a pour mesure f'arc, dont un des côtés du polygone eft la corde, l'on trou vera toujours la valeur de cet angle, en divifant 360, ou les degrés de la circonférence entiere, par le nombre des côtés du polygone. Ainsi, pour trouver l'angle au centre d'un exagone, je divife 360 par 6, & le quotient 60, eft la mesure de l'angle que je cherche. Or comme l'angle BCD du polygone eft double de l'angle ABC, & que par conféquent il est égal aux deux angles de la bafe du triangle ifofcele ABC, il s'enfuit qu'il est égal à la différence de l'angle du centre à deux droits: ainfi on trouvera la valeur de l'angle du polygone, en retranchant l'angle du centre de 180 degrés.

PROPOSITION I

PROBLEM E.

460. Inferire un exagone dans un cercle.

SOLUTION.

Pour infcrire un exagone dans un cercle, il faut prendre le Figure 700 rayon du cercle avec le compas, & le porter fix fois fur la circonférence; cette opération détermine les points qui fervent à tracer l'exagone.

DEMONSTRATION.

Confidérez que le côté BC de l'exagone eft égal au rayon AB; car comme l'angle du centre BAC de l'exagone eft de 60 degrés, la fomme des deux angles de la bafe du triangle ifofcele B A C fera de 120 degrés, double de l'angle au centre; chacun d'eux fera donc de 60 degrés : donc le triangle BAC eft équilatéral, & le côté BC cft égal au rayon AC. C. Q. F. D.

PROPOSITION II.

PROBLEME.

Figure 71, 461. Décrire un dodecagone dans un cercle, ou, ce qui est la même chofe, une figure de douze côtés.

SOLUTION.

Pour décrire un dodécagone dans un cercle, il faut porter le rayon AC fur la circonférence, afin d'avoir l'arc CD de 60 degrés, ou autrement égal à la fixieme partie de la même circonférence, & divifer enfuite cet arç en deux également en E, la corde DE fera le côté du dodécagone, puifqu'elle eft la corde d'un de 30 degrés, qui font la douzieme partie de la circonférence. C. Q. F. D.

Figure 72. 462. Si l'on a un

LEMME.

462. Si l'on a un triangle ifofcele ABC, dont chaque angle de la bafe foit double de celui du fommet ; je dis que fi l'on divife l'un des angles de la bafe, comme BAC en deux également par une ligne AD, qui va rencontrer le côté oppofe en D, cette ligne divifera ce même côté BC en moyenne & extrême raifon au point D, enforte que l'on aura BC: BD:: BD: DC.

DEMONSTRATION.

Confidérez que les triangles ABC & DAC font femblables, puifqu'ils ont un angle commun en C, & que l'angle DAC eft égal à l'angle B, puifque l'angle B eft par fuppofition moitié de l'angle B AC, dont celui-ci eft auffi la moitié. On aura de plus le triangle BDA, qui fera ifofcele, puifque l'angle DB À eft égal à l'angle BAD: donc les côtés A D, BD feront égaux. Cela pofé, les triangles femblables ABC,DAC

nous

nous donnent par la comparaifon des côtés homologues BC: AC:: AC DC, & mettant BD à la place de AC, auquel il est égal, on aura BC: BD::BD:DC. C.Q.F.D.

COROLLAIRE I.

463. Cette propofition donne un moyen de faire un triangle ifofcele, dont les angles de la base foient chacun doubles de celui du fommet; car pour faire, par exemple, un triangle comme ABC, l'on n'aura qu'à divifer le côté BC en moyenne & extrême raifon (art. 451), & fur la plus petite partie DC comme base, faire un triangle ifofcele par le moyen de deux fections, avec une ouverture de compas de la grandeur de la médiane BD, & l'on aura le point A, qui fervira à former le triangle ABC. Comme il n'y a qu'une maniere de divifer une ligne en moyenne & extrême raifon, il n'y a auffi qu'un triangle qui ait la propriété que nous venons de voir.

COROLLAIRE II.

464. Il fuit encore delà que fi du point B, comme centre, l'on décrit un cercle, dont le rayon foit BA ou BC, la base AC du triangle ifofcele ABC fera le côté du décagone infcrit dans ce cercle: car puifque, par conftruction, les deux angles de la bafe font chacun doubles de l'angle au fommet, les trois angles du même triangle, pris ensemble, vaudront cinq fois l'angle du fommet; & comme la valeur des trois angles d'un triangle quelconque eft de deux angles droits, on aura la valeur de l'angle au fommet, en divifant deux droits ou 180 degrés par 5, & ce qui donnera 36 pour le nombre des degrés de l'angle au centre B, lequel nombre eft précisément la dixieme partie de la circonférence, ou de 360 degrés

PROPOSITION III.

PROBLEM E.

465. Infcrire un décagone dans un cercle.

Pour infcrire un décagone dans un cercle, il faut divifer le rayon de ce cercle en moyenne & extrême raifon, la médiane Figure 75. fera le côté du décagone; ainfi l'on n'aura qu'à porter dix fois cette ligne fur la circonférence, & l'on aura les points qui ferviront à tracer le décagone; ce qui eft évident, puifque par le

Ff