+

Extray out Laraine quarée des le produit La forme

on aura

des toutter Les Lignes Ias La progression

tous les côtés font en progreffion arithmétique; & comme pour trouver la fomme de tous ces quarrés, il faut multiplier le quarré AD par le tiers de la perpendiculaire CH, l'on pourra tirer de ce raisonnement un principe général, qui eft que fi l'on a une progreffion arithmétique infinie, compofée de lignes, dont la plus petite va fe terminer ào, l'on trouvera la fomme des quarrés de toutes ces lignes, en multipliant le quarré de la plus grande ligne par le tiers de la grandeur qui exprime la quantité des lignes ou des quarrés. Comme la fuite des nombres naturels eft une fuite de grandeurs qui croiffent en progreffion arithmétique, on peut par cette propofition,prouver que la fomme des quarrés de tous les nombres poffibles, depuis zero jufqu'à l'infini, est égale au tiers du cube du dernier nombre que l'on puiffe imaginer, ou bien au tiers du cube de l'infini.

Il eft bien important de comprendre ce corollaire, parce que nous nous en fervirons dans les démonftrations fuivantes. COROLLAIRE IV.

555. Il fuit encore delà, que pour trouver la folidité d'une Figure 130. pyramide droite ABC, qui a pour bafe un polygone quelconque AC, il faut multiplier la bafe par le tiers de l'axe BD; car comme cette pyramide eft compofée d'une infinité de polygones femblables à la bafe, & tous ces polygones femblables étant dans la raifon des quarrés de leurs côtés homologues (art. 493), ou de leurs rayons, tels que EF & AD, lefquels font les mêmes que les élémens du triangle ABD, on peut dire que ces polygones font dans la raifon des quarrés des lignes d'une progreffion infinie arithmétique, & que par conféquent pour en trouver la valeur, il faudra multiplier le plus grand polygone AC par le tiers de la perpendiculaire B D.

Figure 13.2.

COROLLAIRE V.

556. Comme le cône ABC eft compofé d'une infinité de cercles, qui ont pour rayons les élémens, tels que EF & AD du triangle ABD, il s'enfuit que les cercles étant dans la même raifon que les quarrés de leurs rayons, il faudra, pour trouver la valeur de tous les cercles dont le cône eft compofé, multiplier le plus grand cercle A C par le tiers de la perpendiculaire BD qui en exprime la quantité.,

PROPOSITION V.

THEOREM E.

557. Si l'on a deux pyramides, ABC & HLK, dont la hau- Figure 130 teur BD de la premiere foit égale à la hauteur LO de la feconde, & 131. je dis qu'elles feront entr'elles dans la raison de la base AC à la base HK.

6ab

2

Suppofant que la base AC soit un exagone régulier, & la base HK un quarré, nous nommerons le côté MN, a; la perpendiculaire DG, b; le côté HI ou IK, c; & la hauteur BD ou LO, d. Cela pofé, la base AC sera ou zab, & la base HK sera cc, & multipliant les deux bases par le tiers de la hauteur commune (art. 553), c'est-à-dire par, l'on aura ccd pour la valeur de la premiere pyramide ABC, & pour la valeur de la pyramide HKL: ainfi il faut démontrer que sabd: :: zab: cc.

3abd

3

ccd

3

DEMONSTRATION.

d

3

3abdec

Cette proportion est évidente, puifque le produit des extrêmes est égal à celui des moyens : car sabdcc. C. Q. F. D, sabdco

COROLLA IRE,

3

558. Les cônes étant des pyramides d'une infinité de côtés, il s'enfuit que lorfqu'ils auront la même hauteur, ils feront dans la raifon de leurs bafes. Il en fera de même pour les prifmes & les cylindres qui font triples des pyramides ou des cônes de même base & de même hauteur: car fi les parties font entr'elles comme les tous, réciproquement les tous font entr'eux comme leurs parties de même nom.

PROPOSITION VI

THEOREM E.

559. Si l'on a deux prifmes X & Y, dont les bafes & les hau- Pl. VII. Leurs foient réciproques, je dis qu'ils font égaux.

Figure 133& 134.

Figure 135.

& 136.

DEMONSTRATION.

Pour le prouver, nous fuppoferons que ab eft la bafe dư prifme X, & cd celle du prifme Y, e la hauteur du prisme Y &f celle du prime X; cela étant, par hypothefe, on a ab: cd::e:f; donc abf: cde: or comme le premier membre de cette équation eft le produit des trois dimenfions du prifme X, & le fecond le produit des trois dimensions du prifme Y, il s'enfuit évidemment que ces prifmes font égaux. C.Q.F. D.

COROLLAIRE.

560. Il fuit de cette propofition, que les cylindres, les pyra mides & les cônes qui ont leurs bafes & leurs hauteurs réciproques, font égaux chacun à chacun. La démonstration est la même que la précédente.

PROPOSITION VII

561. Une pyramide tronquée, comme ABED, eft égale à une pyramide qui auroit pour bafe un plan égal aux deux quarrés BE & AH, pris enfemble; plus un plan qui feroit moyen géométrique entre ces deux quarrés, & pour hauteur l'axe F G.

Confidér le foure HKLI, comme étant la coupe de la pyramide tronquee, coupée par un plan perpendiculaire à fa bafe, & qui pafferoit par fon fommet, & le triangle HMI, comme la coupe de la pyramide entiere, nous nommerons le côté A D, a; KL ou BC, b; l'axe MG, c; le petit axe MF de la pyramide KML, d: ainfi l'axe F G de la pyramide tronquée fera c-d, & l'on aura aa+bbab pour la bafe de la pyramide égale à la pyramide tronquée; car ab eft moyen proportionnel entre aa & bb (art. 505). Ainfi il faut prouver que le produit de aa + bb + ab par

d

aac+bbe+abe-aad-bbd-abd

qui eft 3

eft égal au folide de la pyramide tronquée.

DEMONSTRATION.

3.

Faites attention que la pyramide tronquée eft égale à la différence de la pyramide entiere & de la pyramide emportée ;que la pyramide entiere HMI eft ac & que la petite pyra

3

bbd
3

mide KM L'eft & que fi l'on ôte la petite de la grande, la différence fera la valeur de la pyramide tronquée, qui eft & qui doit être égale au produit

AAC

3

bbd

anc+ bbc abe

bbd

3.

aac + bbc abc

; ce qui fournit cette équation,

aad

3.

Pour prouver cette équation, on fera attention qu'à caufe des triangles femblables HMI, KML, on a HI:KL::MG:MF, ou a:b::c: d; ce qui donne adbc: en mettant done be à la place de ad dans le quatrieme & fixieme terme du fecond membre de cette équation, on aura celle-ci b aac + bbc + abc — abc — bbd — bbe, dans laquelle, effaçant ce qui

3

aa

C, Q. F. D.

COROLLAIRE I.

3

562. Il fuit de cette propofition, que pour trouver la valeur d'une pyramide quarrée tronquée, il faut multiplier le côté de la bafe inférieure de cette pyramide par le côté de la bafe fupérieure, pour avoir le plan ab, moyen entre les deux, & ajouter ceplan à la fomme des deux bafes inférieure & fupérieure, puis multiplier le tout par le tiers de la perpendi

REMARQUE.

G.

563. Si la bafe de la pyramide n'étoit pas un quarré, pour avoir le plan moyen, il faudroit multiplier les deux plans l'un par l'autre, & en extraire la racine: mais on peut trouver ce plan d'une maniere plus fimple, comme on le va voir.

Suppofons que la bafe de la pyramide eft un pentagone régulier, la bafe fupérieure de la pyramide fera auffi un pentagone régulier, & femblable à celui de la bafe inférieure, parce que l'on fuppofe la pyramide coupée par un plan parallele à cette bafe. Soit za le contour du premier polygone, & b la perpendiculaire qui mefure la hauteur d'un triangle: foit pareillement 2c le contour du polygone, qui eft la bafe de la pyramide emportée, & d la perpendiculaire qui mefure la hauteur d'un triangle: on aura la furface du premier polygone, en multipliant la hauteur d'un triangle par la moitié du contour:

Cotte Remarquer but J'une grandes utilité cans La lubature des Bois ronds, on

vendent ordinairement; parequels font tous Compris fores La forme des Cônes, on deen piramides tron-qués &

on aura de même la furface du fecond polygone, ou de la base fupérieure, en multipliant fa perpendiculaire par la moitié du contour (art. 483). La base inférieure fera donc ab, & la bafe fupérieure cd: multipliant ces deux furfaces l'une par l'autre, le produit fera abcd, dont la racine donneroit le moyen cherché entre les deux bafes: mais je fais attention que puifque ces polygones font femblables, leurs contours, ou les quarrés, tats qu'ils fer moitiés de ces contours feront entr'elles comme les perpenSi donc dans le produit abcd, on met à la place de bc le produit ad, qui lui eft égal, on aura a add pour le quarré du plan moyen géométrique entre les deux bafes, dont la racine ad, que l'on peut prendre fur le champ, donne ce même plan moyen. D'où il fuit, que pour trouver un polygone quelconque femblable à deux autres polygones femblables entr'eux, & qui foit moyen géométrique entre ces deux polygones, il faut multiplier la moitié du contour du plus grand par la perpendiculaire de l'autre, ou le demi-contour du plus petit par la perpendiculaire du plus grand. J'ai infifté sur cette remarque, parce qu'elle donne une méthode fort commode de trouver une furface moyenne géométrique entre deux autres furfaces femblables, & que d'ailleurs on ne le trouve pas dans les autres élémens. Par exemple, pour trouver un cercle moyen géomérique entre deux cercles donnés, dont les rayons. font a & b, les circonférences 2c & 2d, le cercle moyen fera également ad ou bc, que l'on trouve fur le champ, fans être obligé d'extraire de racines,

diculaires: on aura donc a:b::c:d, d'où l'on tire ad-bc.

COROLLAIRE II.

564. Comme un cône tronqué eft compofé d'une infinité de cercles, qui font tous dans la raifon des quarrés qui compofent une pyramide tronquée, il s'enfuit que pour en trouver la folidité, il faut chercher un cercle moyen entre les deux cercles oppofés, ajouter cette fomme avec les deux qui fervent de bafe, & multiplier le tout par le tiers de l'axe compris entre les deux cercles; il faut auffi entendre la même chose de toute autre pyramide tronquée, foit que fa base soit réguliere, soit qu'elle foit irréguliere.