LEMME.

565. Une ligne moyenne proportionnelle entre les parties EG Figure 137. & GF du diametre EF d'un cercle, fera le rayon d'un cercle égal

à la couronne X.

DEMONSTRATION.

Confidérez que par la nature du cercle, la ligne & H eft moyenne proportionnelle entre les parties EG & G F du diametre; & à cause du triangle rectangle DGH, on a GH2 DH-DG2: & comme les cercles font en même raifon que les quarrés de leurs rayons, on aura le cercle de GH égal au cercle de DH moins le cercle de DG; mais la couronne eft auffi égale à la différence des cercles décrits du rayon DH & du rayon DG: donc la couronne est égale au cercle du rayon GH, ou d'une ligne moyenne entre les parties du diametre. C. Q. F. D.

PROPOSITION VIII.

THEOREM E.

566. Si l'on a une demi-fphere A ED infcrite dans un cylindre Figure 1 38. ABCD, je dis que la demi-fphere eft égale aux deux tiers du cylindre.

enforte que

BF foit

Prolongez le diametre BC jufqu'en F, égale à BA, & tirez la ligne F A, qui donnera le triangle isof

cele ABF.

DEMONSTRATION.

Si l'on fuppofe que la demi-sphere & le cylindre font coupés par un plan GL parallele à la base A D, cette fection formera la couronne GH, & fi l'on abaiffe du point H la perpendiculaire HI fur le diametre AD, elle fera, par le lemme précédent, le rayon du cercle égal à la couronne GH, puifqu'elle eft moyenne proportionnelle entre les parties AI & ID GH & HL qui leur font égales. Or comme les lignes HI, GA, GK font égales, par conftruction, il s'enfuit que la couronne GH fera égale au cercle, qui auroit pour rayon la ligne correfpondante GK, qui eft un des élémens du triangle ABF & comme le triangle eft compofé d'autant d'élémens qu'il y a de couronnes dans l'efpace qui eft entre la demi-fphere & le

cylindre. La fomme des élémens & des couronnes étant ex-
primée par la ligne B A, il s'enfuit que tous les cercles qui au-
ront pour rayons les élémens du triangle, vaudront, pris en-
femble, toutes les couronnes; & comme pour trouver la va-
leur de tous ces cercles, il faut multiplier le cercle du plus
grand élément F B par le tiers de la ligne BA (art. 554), il
faudra donc pour trouver la fomme de toutes les couronnes
multiplier la plus grande couronne BC, qui eft le cercle qui
fert de base au cylindre, par le tiers de la ligne AB, hauteur
du cylindre; ce qui fait voir
qui fait voir que toutes les couronnes, prifes
enfemble, font égales au tiers du cylindre, & que par confé
quent la demi-fphere en eft les deux tiers, C. Q. F. D.

COROLLAIRE I

567. Puifqu'une demi-sphere eft les deux tiers du cylindre où elle feroit infcrite, c'est-à-dire de même base & de même hauteur, il s'enfuit que pour en trouver la folidité, il faut multiplier fon plus grand cercle AD par les deux tiers du rayon ME.

COROLLAIRE II.

568. Une demi-fphere étant les deux tiers d'un cylindre de même base & de même hauteur, une fphere fera par conféquent les deux tiers du cylindre, qui auroit pour bafe le grand cercle de la sphere, & pour hauteur le diametre: ainfi il faut, pour trouver la folidité d'une fphere, multiplier fon grand cercle par les deux tiers du diametre, ou bien multiplier le grand cercle par le diametre, & prendre les deux tiers du produit.

le

COROLLAIRE III,

il

569. Si l'on confidere qu'un quart de cercle eft compofé Figure 139. d'un nombre infini d'élémens, tels que DE, on verra que fi de cercle fait une révolution autour du rayon AB, quart Figure 142. décrira une demi-fphere telle que X, qui fera compofée d'une infinité de cercles, dont tous les élémens du quart de cercle feront les rayons. Or comme les cercles font dans la même raifon que les quarrés de leurs rayons, & que pour trouver la valeur de tous les cercles, qui ont pour rayon les élémens du quart de cercle, il faut multiplier le cercle du plus grand rayon BC par les deux tiers du demi-diametre AB, il fuit delà, que

pour

pour trouver tous les quarrés des élémens du quart de cercle AC, il faut multiplier le quarté du plus grand élément par les deux tiers de la ligne AB, & l'on peut tirer de ce raifonnement le principe général fuivant, qui eft que, dans une fuite qui feroit composée des élémens infinis du quart de cercle, la fomme de tous les élémens feroit égale au produit du quarré du plus grand élément, c'est-à-dire du rayon par les deux tiers du même rayon.

PROPOSITION IX.

THEOREM E.

570. Les folidités des fpheres font dans la même raison que les Figure 143.

cubes de leurs diametres.

ab

4

Si l'on nomme le diametre AB, a, fa circonférence, b le diametre CD, c, & fa circonférence, d, la fuperficie du grand cercle de la premiere fphere fera puisqu'il faut multiplier la demi-circonférence par le rayon pour avoir la furface d'un cercle; de même la fuperficie du grand cercle de la seconde sphere sera 4 multipliant enfuite l'un & l'autre, chales deux tiers de fon diametre, l'on aura ou 1 pour la folidité de la premiere sphere (art. 568), & & par la même raison pour la folidité de la feconde sphere: il faut

cun par

6

cd

4

6

ted
6

2426

12

426
6

Pour prouver que abcd :: a3: c3, nous ferons voir que dans ces quatre termes le produit des extrêmes est égal à celui des moyens, c'est-à-dire que fidérez que les diametres des cercles étant en même raison

aabc3
6

6

que leurs circonférences (art. 481), on aura a:b::c:d, d'où aaadec = aoa dee Fon tire ad bc, & que fi l'on met ad à la place de bc dans le premier membre de l'équation précédente, elle deviendra, en multipliant chaque membre par 6,aaadecaaadcc. C.Q.F.D.

DÉFINITION.

a&.de?..

ad..de?., Car Lorstraine Lewiviseur 6 ('a multiplier Les termes par 6

571. On appelle corps ou folides femblables ceux dont ainsi il Blost inutible

toutes les dimenfions font proportionnelles, par exemple, deux pyramides font femblables, lorfqu'elles ont chacune pour bafes des polygones femblables, & que leurs axes font difpofés de la même maniere par rapport au plan de leur base, & font proportionnels aux côtés homologues, ou aux rayons de ces polygones: car il faut bien faire attention que les axes de deux pyramides, ou même leurs hauteurs, peuvent être proportionnelles à leurs rayons, ou aux côtés homologues des bafes femblables, fans que ces pyramides foient des corps femblables; ce qui arriveroit fi l'une des pyramides étoit droite & l'autre oblique.

COROLLAIRE.

572. Il fuit de la définition précédente & de la derniere propofition, que toutes les pyramides, prifmes, cylindres, ou cônes femblables, feront entr'eux comme les cubes des dimenfions homologues; de leurs axes, par exemple,de leurs hauteurs, ou, comme s'expriment les Géometres, dans la raifon triplée de leurs dimenfions homologues.

REMARQUE.

Il pourroit arriver, comme nous l'avons déja infinué, que deux corps qui ont des bafes femblables, fuffent entr'eux comme les cubes de leurs hauteurs, fans qu'on en puiffe conclure qu'ils font femblables. Imaginons deux prifmes, qui ont chacun pour base des pentagones femblables, & des hauteurs proportionnelles aux côtés homologues de ces pentagones, mais le premier droit, & le fecond oblique. Soit za le contour de la bafe du premier; b, la perpendiculaire qui mefure la hauteur d'un des triangles de la bafe, & c fa hauteur: foit de même 2d le contour du polygone qui fert de bafe au fecond prifme, f la hauteur d'un triangle, & g la hauteur de ce prifme. La folidité du premier fera abc, & celle du second fera dfg, puifqu'il faut multiplier la bafe de chacun par fa hauteur, & l'on auroit dans ce cas abc: dfg:: a': d; ce qu'il eft aifé de prouver, en faifant voir que le produit des extrêmes eft égal à celui des moyens, ou que abcd=dfga3: car puifque les lygones qui fervent de bafes font femblables, leurs contours. ou les moitiés de ces contours font proportionnels aux perpendiculaires qui mefurent les hauteurs des triangles: donc

que

po

abd:f; donc af bd, & puifque, par hypothefe, les
hauteurs de ces prifmes font proportionnelles aux circuits des
bases, on aura a:c::d: g; donc ag=cd. Si dans le premier
membre de l'équation, qu'il faut prouver, on met af à la place
debd, & ag à la place de cd, il viendra celle-ci, a'dfg=a3dfg,
qui fait voir que ces prifmes font entr'eux comme les cubes
des côtés de leurs bafes ou de leurs rayons, quoiqu'ils ne
foient pas femblables. Il eft done vrai de dire que forfque deux
folides font femblables, ils font entr'eux comme les cubes des
côtés homologues de leurs bafes, ou comme les cubes de leurs
hauteurs; mais de ce que deux folides feroient entr'eux com-
me les cubes de leurs côtés homologues ou de leurs hauteurs
il ne s'enfuit pas qu'ils foient femblables.

On a fuppofé dans cette remarque & dans ce qui précede, qu'un prifme oblique eft égal au produit de fa base par fa hauteur; ou, ce qui revient au même, que deux prifmes font égaux, lorfqu'ils font compris entre deux plans paralleles: fi l'on veut fe convaincre de cette vérité, il n'y a qu'à faire attention qu'un prifme peut être engendré par le mouvement d'un parallelogramme qui fe meut parallèlement à luimême, & comme les parallelogrammes inclinés font égaux au rectangle de même base, & compris entre les mêmes paralleles, il s'enfuit que les prifmes droits & obliques, engendrés par les mouvemens de ces furfaces, feront auffi égaux, puifque les furfaces génératrices font égales, & parcourent le même efpace parallèlement à elles-mêmes.

PROPOSITION X.

THEOREM E.

573. La furface d'une demi-fphere AED eft égale à celle du Figure 140 cylindre ABCD, dans lequel elle eft infcrite.

Suppofant que le cylindre AC & le cône GHI ont la même bafe & la même hauteur, nous nommerons a les lignes égales FE, FD, KH,KI, & b les circonférences AD & GI. Cela pofé, on aura pour la valeur du cercle AD ou GI, qui étant multiplié par les deux tiers de FE (4) donnera

aab

3

ab

2

3

pour la valeur de la demi-sphere (art. 567 & 568), &

& 141.