>

Si l'on imaginé la demi-sphere, comme étant compofée d'une infinité de petits cônes, qui ont leurs bases égales, répandues fur la furface de la fphere, & dont tous les fommets venant aboutir au centre F, ont pour hauteur commune le rayon, on pourra dire que tous ces petits cônes font égaux pris ensemble, à un feul qui auroit pour bafe la furface de la Iphere, & pour hauteur le rayon. Or comme la valeur de ce cône, égal à la demi-fphere, eft & que celle du cône GHI eft aab ces deux cônes ayant la même hauteur, il s’enfuit qu'ils feront dans la raifon des bases, c'est-à-dire comme le cercle GI eft à la furface de la fphere, que l'on trouvera, en difant : Comme "^", valeur du cône GHI, eft à valeur

> 6

aab

6

ab

2

aab

3

aab

3

du cône égal à la sphere, ainfi 4, base du cône GHI, est à la base du second cône, ou autrement à la furface de la demi

6a362

6a2b

Iphere, que l'on trouvera =ab, qui eft un rectangle égal à la furface du cylindre, puifqu'il eft compris fous la hauteur a & la circonférence b. C. Q. F. D.

AUTRE DEMONSTRATION.

Confidérez que fi du cylindre AC l'on retranche le cône Figure 140. BFC, qui en eft le tiers, le folide ABFCD qui restera, que nous nommerons entonnoir, en fera les deux tiers; & comme la demi-fphere inferite eft auffi les deux tiers du cylindre, elle fera par conféquent égale à l'entonnoir. Mais fi l'on imagine l'entonnoir compofé d'une infinité de petites pyramides, dont toutes les bases font à la surface du cylindre, & dont la hauteur commune eft le rayon FD, il s'enfuit que toutes les pyramides de la demi-fphere étant égales à toutes celles de l'entonnoir, toutes les bafes des unes, prifes enfemble, feront égales à toutes les bases des autres, aufli prifes ensemble, puifque ces pyramides ont la même hauteur; mais toutes les bafes

des unes valent la furface de la sphere, & toutes les bases des

autres valent la furface du cylindre: donc la furface de la sphere est égale à la surface du cylindre qui lui eft circonscrit. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

574. La furface du cylindre AC ayant pour base la circonférence du grand cercle de lafphere, & pour hauteur le rayon, il s'enfuit que la furface d'une demi-fphere eft égale au rectangle compris fous une ligne droite égale à la circonférence de fon grand cercle, & fous le rayon; & que par conféquent la furface d'une fphere eft égale au rectangle compris fous une ligne égale à la circonférence de fon grand cercle & fous fon axe ainfi pour trouver la furface d'une fphere, il faut multiplier le diametre de fon grand cercle par fa circonférence.

COROLLAIRE II.

575. Le grand cercle d'une demi-fphere étant la moitié du rectangle compris fous la circonférence & fous le rayon, il s'enfuit que la furface d'une demi-fphere eft double de fon grand cercle; & par conféquent la furface de la sphere entiere eft quadruple de celle du même grand cercle.

COROLLAIRE III.

576. Comme les cercles font dans la même raison que les quarrés de leurs rayons (art. 495 ), il s'enfuit qu'un cercle qui aura un rayon double d'un autre, aura une furface quadruple: par conféquent la furface d'une fphere eft égale à celle d'un cercle, qui auroit pour rayon l'axe de la même sphere.

COROLLAIRE IV.

577. Comme les furfaces de spheres font égales à des cercles qui auroient pour rayons les diametres des fpheres, & ces cercles étant comme les quarrés de leurs rayons, qui font ici les diametres des fpheres, il s'enfuit que les furfaces des fpheres font entr'elles comme les quarrés de leurs diametres. PROPOSITION XI.

THEOREM E.

578. La folidité d'une zone ABCD eft égale aux deux tiers Figure 144du cylindre A EFD du grand cercle AD, plus au tiers du cylin dre GBCH du plus petit cercle BC.

Figure 145.

DEMONSTRATION.

Comme l'on trouve la valeur de toutes les couronnes qui font entre la zone & le cylindre AEFD, en multipliant la plus grande couronne EB par le tiers de la ligne EA ou OI (art. 566), il s'enfuit que ce produit eft égal au tiers de l'efpace EG ou FH qui regne entre les deux cylindres AEFD GBCH; & que par conféquent la partie ABG de la zone qui regne autour du cylindre en eft les deux tiers. Or fi l'on retranche de ce cylindre le cône BIC, qui en eft le tiers, il reftera l'entonnoir GBICH, qui en fera les deux tiers, ainsi la partie ABICD de la zone vaudra les deux tiers du cylindre AEFD; mais comme le cône BIC, qui fait auffi partie de la zone, eft le tiers du cylindre GBCH, il faut ajouter ce cône aux deux tiers du cylindre AEFD pour avoir la folidité de la zone: ainfi cette folidité est égale aux deux tiers du cylindre AEFD, plus au tiers du cylindre GBCH. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

579. Il fuit de cette propofition, que fi l'on coupe une demisphere infcrite dans un cylindre, par un plan FG, parallele à la bafe AE, la partie ABCDE (qui eft la différence de la demi-fphere au fecteur fphérique CBHD) eft égale à l'entonnoir AFCGE du cylindre correfpondant AG, puifque l'une & l'autre font les deux tiers du même cylindre AG,

COROLLAIRE II.

588. Il fuit encore delà que la folidité d'un fecteur fphéFigure 144. rique tel que CIBP, eft égale aux deux tiers du cylindre EFLK, qui a pour bafe le grand cercle de la fphere, & pour hauteur la fleche PO du fegment fphérique BPC, plus au tiers du cylindre GBCH: car puifque la demi-sphere eft les deux tiers du cylindre qui lui eft circonfcrit, & que la zone ABCD eft les deux tiers du cylindre AEFD, plus le tiers du cylindre GBCH, il faut que le fecteur CI BP foit les deux tiers du cylindre EKLF, plus le tiers du cylindre GBCH.

COROLLAIRE III

581. Il fuit encore de cette propofition, que le fegment fphé

rique BPC eft égal aux deux tiers du cylindre E KLF, moins le tiers du cylindre GBCH: car la demi-fphere entiere étant les deux tiers du cylindre A KLD, fera auffi les deux tiers des cy. lindres A EFD & E KLF, dont la fomme eft égale au cylindre circonfcrit; mais la zone est égale aux deux tiers du cyfindre AEFD, plus au tiers du cylindre GBCH: donc en ôtant la zone de la demi-fphere, on aura pour le folide de la calotte deux tiers du cylindre EKLF, moins le tiers du cylindre GBCH; d'où il fuit que le folide d'une calotte fphérique eft les deux tiers d'un cylindre qui auroit pour bale le grand cercle de la sphere, & pour hauteur, la fleche PO de la calotte, moins un cône, qui auroit pour bafe le cercle ou la bafe de la calotte, & pour hauteur le rayon IP, moins la fleche PO.

PROPOSITION XIL

THEOREM E.

582. Si l'on coupé une demi-fphere infcrite dans un cylindre Figure 145. par un plan FG parallele à la bafe AE, je dis que la furface de Zone ABDE eft égale à celle du cylindre correfpondant AG.

la

DEMONSTRATION.

L'entonnoir AFCGE étant égal à la partie ABCDE Figure 145. de la zone (art. 579), fi l'on imagine l'entonnoir compofé d'une infinité de petites pyramides qui ont toutes leurs bafes dans la furface du cylindre AG, & pour hauteur le rayon CE; & la partie ABCDE de la demi-fphere, comme étant auffi compofée de petites pyramides, dont les bafes font dans la furface de la zone, & qui ont pour hauteur commune le rayon CE, il s'enfuivra ( toutes les pyramides d'une part étant égales à toutes celles de l'autre, & ayant toutes la même hauteur) que néceffairement toutes les bafes d'une part feront égales à toutes les bafes de l'autre, & qu'ainfi la furface de la zone ABDE fera égale à celle du cylindre AFGE. C. Q.F.D. COROLLAIRE I.

583. Comme la furface de la demi-sphere AHE eft égale à celle du cylindre AI, & que la furface de la zone ABDE eft égale à celle du cylindre AG, il s'enfuit que la furface du fegment BHD de la sphere, est égale à celle du cylindre cor

refpondant FI, ou bien au rectangle compris fous une ligne égale à la circonférence du grand cercle de la sphere, & fous la partie HK.

COROLLAIRE

II.

584. Il fuit encore de cette propofition, que fi l'on coupe une demi-sphere infcrite dans un cylindre par un plan parallele à la base, les parties de la furface de la demi-fphere seront égales aux zones correfpondantes du cylindre.

COROLLAIRE III.

585. Les furfaces des cylindres FI & AG ayant des bases égales, feront dans la même raison que leurs hauteurs HK & KC; & comme le premier cylindre eft égal à la partie de la furface BHD de la demi-fphere, & le fecond à la partie ABDE, il s'enfuit que les parties de la furface de la demisphere font dans la même raifon que les parties HK & KC du demi-diametre, la demi-fphere étant coupée par un plan BD parallele à fon grand cercle.

586. L'on peut dire encore que fi l'on coupe une fphere par un plan perpendiculaire à l'axe, les parties de la furface fphérique feront dans la même raifon que les parties de l'axe.

PROPOSITION XIII.

THEOREM E.

587. Lorfque trois lignes a,b,c font en proportion continue, le parallelepipede fait fur ces trois lignes, eft égal au cube fait fur la moyenne: ainfi il faut prouver que fi l'on a, a: b:: b:c, on aura abc = bbb.

DEMONSTRATION.

Puifque par hypothese a:b:: b:c, on aura ac= ac—bb: ainsi en mettant dans l'équation abc bbb, ac à la place de bb, on aura abc abc. C. Q. F. D.

PROPOSITION XIV.

THEOREM E.

588. Lorfque quatre lignes font en progreffion géométrique, le cube fait fur la premiere, eft au cube fait fur la feconde, comme

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