la premiere ligne eft à la quatrieme, c'est-à-dire que fi l'on a a.b.c.d, on aura auffi aaa: bbb::a: d.

DEMONSTRATION.

Confidérez que dans la progreffiona.b.c.d, les trois premiers termes donnent ac=bb, puifque l'on a a:b:: b:c, & que l'on aura auffi adbe, puifque a: b::c: d. Ainfi pour prouver que a3:63::a:d, il fuffit de faire voir que le produit des extrêmes & celui des moyens donnent and abs. Pour cela, il n'y a qu'à mettre ac à la place de bb, dans le fecond membre de l'équation, & bc à la place de ad 'dans le premier, & l'on aura a abcaabc. C. Q. F. D.

PROPOSITION XV.

PROBLEM E.

589. Trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes Figure 16. données.

SOLUTION.

Pour trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données A B & C D, il faut faire un rectangle fous les deux lignes, tel que EF foit égale à CD, & EG égal à AB; enfuite prolonger indéfiniment les côtés EF, EG, & du centre I du rectangle, décrire un cercle de maniere que la circonférence venant couper les lignes prolongées GK & FL, on puiffe mener du point K au point L une ligne KL, qui ne faffe que toucher l'angle H, & l'on aura les lignes GK & FL, qui feront moyennes proportionnelles entre GE & EF, c'est-à-dire entre les données A B & C D.

DEMONSTRATION.

Confidérez que fi l'on abaiffe les perpendiculaires IM & IN, la corde OL fera divifée en deux également au point M (art. 423) auffi-bien que la ligne EF, & que par conféquent OE eft égale à FL, & que KP étant divifée en deux également au point N, auffi-bien que GE,GK fera égale à EP. Cela pofé, comme les triangles OEP,HFL, KGH font semblables, on aura HF: FL::EO: EP; mais puifque O E eft égal à FL, on aura HF: FL:: FL: EP; & comme les deux triangles femblables E OP, GKH donnent encore

Nn

OE:EP::GK: GH, fi à la place de EP on met GK, qui lui eft égal, on aura OE: GK:: GK: GH; ce qui prouve qu'il y a même raifon de HF à FL, que de FLà GK, & que de G K à GH, & que par conféquent les lignes F L & G K font moyennes proportionnelles entre GE & EF. C. Q. F. D.

REMARQUE,

590. Le problême précédent eft celui qu'on appelle communément la duplication du cube, parce qu'il fert à faire un cube double d'un autre, ou qui ait avec lui une raison donnée; il feroit à fouhaiter qu'on pût le réfoudre géométriquement fans tâtonner: car on peut aifément reconnoître dans la conftruction précédente, qu'il faut décrire plufieurs cercles avant d'en trouver un, dont la circonférence venant à couper aux points K, L les lignes prolongées, l'on puiffe tirer la ligne KL, qui ne faffe que toucher l'angle H; il est vrai qu'on peut encore le réfoudre d'une autre façon, comme on le verra à la fuite des fections coniques. Mais quoique la méthode que nous donnerons foit plus géométrique que celle-ci, elle ne laiffe pas d'avoir fes difficultés; cependant comme on fe fert plus volontiers des nombres que des lignes dans la pratique, l'on va voir dans le problême suivant la maniere dont on peut trouver en nombres deux grandeurs moyennes géométriques entre deux nombres donnés.

PROPOSITION XVI

PROBLEM E.

591. Trouver entre deux nombres donnés deux moyennes proportionnelles.

Pour trouver entre deux nombres deux moyennes proportionnelles, il faut cuber le premier nombre, & faire une Regle de Trois, dont les deux premiers termes foient le premier & le fecond nombre donnés, le troifieme le cube du premier nombre donné, & le quatrieme terme étant trouvé, fera le cube de la premiere moyenne proportionnelle: ainfi pour trouver cette premiere moyenne, il faudra extraire la racine cube du quatrieme terme. Pour trouver enfuite la feconde moyenne, il faudra chercher une moyenne entre cette premiere trouvée & le dernier nombre donné.

8 x 16

2

Ainfi pour trouver deux moyennes proportionnelles entre 2 & 16, je cube le premier nombre 2, qui donne 8, & je fais la proportion 2:16:: 8': =4×16=64, dont la racine cube est 4, que je regarde comme la premiere de mes deux moyennes proportionnelles ; pour avoir la feconde, je cherche un moyen géométrique entre cette premiere 4, & le fecond nombre donné 16, en faisant 4:x:: x: 16, d'où je tire xx=64, &x= 8 en = 8 en prenant la racine, mes deux moyennes feront donc 4 & 8: en effet, l'on a la progreffion 2:48:16. Si les nombres donnés étoient tels qu'on ne pût pas dans les opérations extraire les racines cubes & quarrées avec exactitude, il faudroit en ce cas fe fervir des décimales, fuivant les méthodes expliquées (art. 158 & 159), afin d'approcher le plus près qu'il eft poffible des racines, & d'avoir le plus exactement qu'on pourra les moyennes demandées. Comme les Commençans pourroient ne pas entendre d'eux-mêmes la.raifon des opérations que nous venons d'enseigner pour trouver deux moyennes proportionnelles entre deux nombres donnés, en voici la démonstration.

L'on a vu (art. 588), que lorfque quatre lignes font en progreffion géométrique, le cube fait fur la premiere eft au cube fait fur la feconde, comme la premiere ligne à la quatrieme. On peut donc dire invertendo, la premiere eft à la quatrieme, da, comme le cube de la premiere eft au cube de la feconde: ainfi connoiffant la premiere ligne & la quatrieme, avec le cube de la premiere, on a les trois premiers termes de cette Regle de Trois: donc on pourra trouver le cube de la feconde, dont la racine cube fera la même feconde. Mais quand on a une fois la feconde, on voit qu'il n'y a plus qu'à chercher une moyenne proportionnelle entre cette feconde & la quatrieme (qui n'eft autre chofe que le fecond nombre donné), & l'on aura la troisieme des quatre proportionnelles, qui fera en même-tems la feconde des deux inconnues que l'on cherche. C. Q. F. D.

PROPOSITION XVII.

PROBLEME.

592. Faire un cube qui foit à un autre dans une raifon donnée. Figure 147 Pour faire un cube qui foit au cube C, dans une raifon & 148.

donnée de 2 à 3, par exemple, c'eft-à-dire un cube qui foit les deux tiers du cube C, il faut divifer le côté A B du cube C en trois parties égales, & faire une ligne DE égale à deux de ces parties, enfuite chercher entre AB & DE deux moyennes proportionnelles telles que FG & HI, & le cube qui aura pour côté la premiere F G de ces deux moyennes proportionnelles, fera le cube demandé; car nous allons prouver qu'il eft les deux tiers du cube C.

DEMONSTRATION.

Les quatre lignes AB, FG, HI, DE étant en proportion continue, on aura le cube de la premiere au cube de la feconde, comme la premiere à la quatrieme; mais par conftruction, la quatrieme eft les deux tiers de la premiere: donc le cube de la feconde F G eft les deux tiers du cube C fait fur la premiere. C. Q. F. D.

Si le côté du cube étoit exprimé en nombres, il faudroit de même en prendre les deux tiers, & chercher entre le tout & les deux tiers, deux moyennes proportionnelles; le cube fait fur la premiere fera celui que l'on demande.

COROLLAIRE.

593. Comme les fpheres font dans la raifon des cubes de leurs diametres ou de leurs rayons (art. 570), de même que les cylindres, les prifmes, les pyramides & les cônes femblables; il s'enfuit que pour trouver quelqu'un de ces folides qui foit à fon femblable dans une raifon donnée, il faut agir à l'égard de leurs dimenfions homologues, des axes, par exemple, comme on vient de faire à l'égard des côtés des cubes; & après avoir trouvé la dimenfion homologue, qui eft ici l'axe, l'on n'aura qu'à en faire l'axe d'un folide femblable au folide propofé, en cherchant les autres dimenfions qui foient toutes proportionnelles aux dimenfions correfpondantes, & dans la raifon de l'axe du premier à l'axe du fecond.

PROPOSITION XVIII

PROBLEM E.

594. Faire un cube égal à un parallelepipede.

Pour faire un cube qui soit égal au parallelepipede AE, il

faut, fi les trois dimenfions du parallelepipede font inégales, comme on le fuppofe ici, chercher une moyenne proportionnelle entre les deux plus petites, AB, BC (art. 506), qui fera, par exemple FG, & faire fur cette ligne un quarré FH, qui doit fervir de base à un parallelepipede FI, qui doit avoir la même hauteur que le parallelepipede A E, puifque le rectangle AC, qui lui fert de bafe, eft égal au quarré FH, qui fert de bafe au fecond. Cela pofé, il faut chercher deux moyennes proportionnelles entre FG & GK (art. 589), qui feront, par exemple, NO & PQ, & je dis que le cube fait fur la premiere NO fera égal au parallelepipede FI ou AE.

Pour le prouver, nous prendrons GD égal à FG, pour avoir le cube GO, nous nommerons FG ou GH, ou GD, a; GK,b; & NO, c: ainfi le parallelepipede F I fera a ab, le cube FM fera a aa, le cube de NO fera ccc: il faut donc prouver que a abccc.

DEMONSTRATION.

Le cube FM & le parallelepipede FI ayant la même base FH, feront dans la raison de leurs hauteurs G D & GK, d'où l'on tire aaa: aab::a:b; & à caufe des quatre proportionnelles, on verra que le cube fait fur la premiere, eft au cube fait fur la feconde, comme la premiere à la quatrieme, ce qui donne aaa: ccc::a:b; donc puifque ces deux proportions ont la même derniere raison, on aura aaa: aab::aaa:ccc; mais a3a3: donc a abccc. C. Q. F. D.

Si les dimensions du parallelepipede donné étoient exprimées en nombres, on n'auroit (pour trouver un cube égal au parallelepipede) qu'à multiplier les trois dimenfions l'une par l'autre pour avoir le folide du parallelepipede, & extraire la racine cube du produit, qui fera le côté du cube demandé.

COROLLAIRE.

595. L'on voit par cette propofition, qu'il n'y a point de folide qu'on ne puiffe réduire en cube; car les cônes & les fpheres pouvant fe réduire en cylindres, & les pyramides en prifmes, fi on change la bafe des cylindres & des prifmes en quarrés qui leur foient égaux, on aura des parallelepipedes, Pon réduira aifément en cube par le problême que nous que venons de réfoudre.

Fin du huitieme Livre.