LIVRE NEUVIEME DES SECTIONS CONIQUES. Comme tous les Livres qui traitent des Elémens de Géométrie ne parlent point des Sections Coniques, la plupart de ceux qui étudient ces Elémens s'en tiennent là, fans s'embarraffer de les chercher ailleurs, dans la penfée que cette étude eft plus curieufe que néceffaire, & ne convient qu'aux perfonnes qui veulent fe donner toutes entieres aux Mathématiques: cependant il eft fi utile de les fçavoir, que fi on les ignore, il n'eft pas poffible de réfoudre les Problêmes les plus communs de la Géométrie pratique, particulièrement de cette Géométrie pratique qui convient à l'Ingénieur & à l'Officier d' Artillerie: car fi le premier veut toifer des voûtes furbaillées, il faut qu'il fcache comme on trouve la fuperficie d'une ellipfe, que l'on appelle communément ovale, & qui eft une des Sedions coniques. Si le fecond veut fçavoir l'art de jetter les bombes, il ne le peut encore fans connoître les propriétés de la Parabole, qui eft auffi une des Sections coniques. Et pour être bien convaincu de la néceffite de fçavoir au moins les principales propriétés des Sections coniques, il ne faut que lire l'Application de la Géométrie à la pratique, l'on verra que plus belles opérations en dépendent abfolument. Cependant malgré cela, les Sections coniques feroient bien peu de chofe, fi elles n'avoient d'autres ufages que ceux que l'on trouvera ici; elles font fi néceffaires à un homme, qui fans vouloir devenir grand Géo les metre, veut feulement fçavoir cette fcience passablement, qu'il ne peut pas les perdre de vue d'un moment: car s'il veut réfoudre un problême un peu compofe, il trouvera des équations qui lui indiqueront les courbes, dont il faudra qu'il fe ferve pour conftruire les égalités, c'est-à-dire pour conftruire une figure qui donne la folution du Probleme.. f Je ne parle point de ceci dans cet Ouvrage, parce que je ne donne que les principales propriétés des Sections coniques, ayant eu feulement pour objet de les faire connoître à ceux qui ont du goût pour la Géométrie, afin de leur inspirer l'envie d'aller plus loin, & d'ailleurs pour m'en fervir dans les endroits où je ne pourrois m'en paffer. Mais s'il fe trouvoit de ces perfonnes dont je viens de parler, qui ne fe bornent point à voir un Livre de Géométrie, je leur confeille d'étudier l'excellent Traité des Sections Coniques de M. le Marquis de l'Hôpital, qui eft ce que nous avons de meilleur dans ce genre. Et comme je me fuis fervi dans ce que je donne ici d'une façon de démontrer fort approchante de la fienne, je ne doute pas qu'on n'ait une grande facilité à comprendre cet Auteur, fi l'on entend bien ce qui fuit, qui en eft en quelque forte l'introduction. CHAPITRE PREMIER. Qui traite des propriétés de la Parabole. DEFINITIONS. I. SI 596. I l'on a une ligne droite A B perpendiculaire fur la ligne OP, fur laquelle on aura pris les parties AC & CD Figure 15% égales entr'elles; & que de C, en venant vers B, l'on mene fur la ligne A B une quantité de paralleles, comme EF, GH à la ligne OP, & qu'on faffe DE ou DF égale à AK, & de même DG ou DH égal à AI, & que l'on continue à trouver une quantité de points, tels que Ê, G, M, en faisant toujours DM égal à AL; la ligne que l'on fera paffer par tous ces points fera une courbe nommée parabole. $97. La ligne ACB eft nommée l'axe de la parabole. III. 598. Le point A eft appellé le point générateur, la ligne OP directrice, & le point D le foyer. IV. 599. Le point C eft appellé origine de l'axe ou fommet de la parabole, parce que c'eft de ce point que l'on fuppofe avoir commencé les lignes paralleles qui forment la parabole. V. 600. Chaque perpendiculaire, comme KE ou IG, ou ML, eft appellée ordonnée à l'axe A B. V I. 601. Les parties CK, CI, CL de l'axe, comprises entre le fommet & la rencontre d'une ordonnée, font appellées abfciffes ou coupées de l'axe C B. VII. 602. Si au fommet de la courbe on éleve une perpendicu laire CN à l'axe CB, quadruple de AC, elle fera appellée parametre de la parabole. VIII. 603. Une ligne droite qui ne rencontre la parabole qu'en un feul point, & qui étant prolorée à droite ou à gauche, ne peut pas la couper, mais tombe toujours au dehors, est appellée tangente. PROPOSITION I. 604. Dans la parabole, le rectangle compris fous l'abfciffe CI & le parametre CN, eft égal au quarré de l'ordonnée GI. Ayant nommé les données AC ou CD, a; les indéterminées ou lignes variables CI, x, & GI,y; AI ou DG qui lui eft égal, par la définition de la courbe, fera x+a; & DI ou CICD, CD, fera x-a, le parametre CN, par fa définition, fera 4a: il faut donc prouver que CI xCÑ— GI2, ou que 4ax=yy. DEMONSTRATION. Figure 151. III. 598. Le point A eft appellé le point générateur, la ligne OP directrice, & le point D le foyer. IV. 599. Le point C eft appellé origine de l'axe ou fommet de la parabole, parce que c'eft de ce point que l'on fuppofe avoir commencé les lignes paralleles qui forment la parabole. V. 600. Chaque perpendiculaire, comme KE ouIG, ou ML, eft appellée ordonnée à l'axe A B. V I. 601. Les parties CK, CI, CL de l'axe, comprises entre le fommet & la rencontre d'une ordonnée, font appellées abfciffes ou coupées de l'axe C B. VII. 602. Si au fommet de la courbe on éleve une perpendicu laire CN à l'axe CB, quadruple de AC, elle fera appellée parametre de la parabole. VIII. 603. Une ligne droite qui ne rencontre la parabole qu'en un feul point, & qui étant prolorée à droite ou à gauche, ne peut pas la couper, mais tombe toujours au dehors, eft appellée tangente. PROPOSITION I. THEOREME. 604. Dans la parabole, le rectangle compris fous l'abfciffe CI & le parametre CN, eft égal au quarré de l'ordonnée GI. Ayant nommé les données AC ou CD, a; les indéterminées ou lignes variables CI, x, & GI,y; AI ou DG qui lui eft égal, par la définition de la courbe, fera x+a; & DI ou CI CD, fera x-a, le parametre CN, par fa définition, fera 4a: il faut donc prouver que CIxCN=GI, ou que 4ax=yy. DEMONSTRATION. Figure 151. |