PROPOSITION VII THEOREM E. 621. Le quarré d'une ordonnée quelconque EC à un diametre AO eft égal au rectangle compris fous l'abfciffe AE, & fous le parametre du diametre AO (ou, ce qui eft la même chofe, fous une ligne quadruple de AP ). Les chofes demeurant les mêmes que dans la propofition précédente; les lignes feront nommées avec les mêmes lettres, excepté la ligne AE, que nous nommerons 7, qui Figure 186. étant égale à FG, fera m―x. DEMONSTRATION. Il faut d'abord ajouter les deux équations que nous avons trouvées dans le théorême précédent, après avoir mis t à la place de u qui lui eft égal; ce qui donnera myytyy ttyy 4x ttyy 2x myy — tyy=xyy +tyy + +xyy -tyy + d'où l'on ttyy = , ou 4xz+4az=z C.Q.F. D. COROLLAIRE I. 622. On voit par ce théorême que la propofition premiere devient générale, puifque non feulement le quarré d'une ordonnée à l'axe eft égal au rectangle compris fous le parametre de l'axe & fous l'abfciffe, mais que le quarré de toute ordonnée à un diametre quelconque, eft auffi égal au rectangle compris fous l'abfciffe correfpondante & le parametre de ce diametre. Mais pour mieux faire entendre ceci, confidérez que fi la ligne RT eft tangente au point M, extrêmité de l'axe, toutes les ordonnées à l'axe feront paralleles à cette tangente, & par la propofition premiere, le quarré de chacune de ces ordonnées fera égal au rectangle compris fous l'abfcifle correfpondante, & fous une ligne quadruple de PM, qui est la diftance du foyer au point d'attouchement. Si donc l'on imagine que l'axe ML fe foit mu parallèlement à lui-même jusqu'au point A, où il devient le diametre AO, & que la tangente RT ait gliffée fur la parabole, ne la touchant toujours qu'en un feul point, jufqu'à ce que le point M devienne le point A; pour lors la tangente R T deviendra la tangente NB, & la ligne P M deviendra la ligne PA ; & par conféquent elle fera encore la quatrieme partie du parametre de l'axe, devenue le diametre AO, & les ordonnées que l'on auroit menées parallélement à la tangente RT, telles que V X, feront toujours paralleles à la tangente, fi elles ont accompagné l'axe, & si l'abfciffe MV est égale à l'abfciffe A E, l'ordonnée V X deviendra l'ordonnée EC, & l'on aura toujours le quarré de EC égal au rectangle compris fous l'abfciffe A E, & fous une ligne quadruple de la distance du point d'attouchement A au foyer P, comme on l'a démontré dans la propofition précé dente. On pourra remarquer que fi le point A approchoit plus du point M, il pourroit arriver que le point C tomberoit au-delà de l'axe ML, & qu'il y tombât encore dans le cas où l'on prendroit une abfciffe A E plus grande fur le diametre, fuppofé toujours au même point A; mais cela n'empêcheroit pas que tout ce que nous avons démontré ne fubfiftât de même, de quelque façon que la ligne DC puiffe fe trouver dans la parabole, puifqu'elle fera toujours divifée en deux également par le diametre, lorfqu'elle fera parallele à la tangente. COROLLAIRE II. 623. Il fuit auffi de ce que nous avons vu, & de la remarque précédente, 1°. que le parametre de l'axe eft le plus petit de tous les parametres: 2°. Que fi l'on prend fur l'axe & fur un diametre quelconque des abfciffes égales, les ordonnées au diametre feront plus grandes que celles de l'axe, puifque leurs quarrés font égaux aux rectangles d'une même abfciffe par des parametres différens, & que d'ailleurs le parametre d'un diametre quelconque eft plus grand que celui de l'axe. COROLLAIRE III. & par y, COROLLAIRE III. le 624. Puifque le quarré d'une ordonnée à un diametre quelconque eft égal au produit de l'abfciffe par le parametre, qui eft une grandeur conftante pour chaque diametre, & variable fuivant les différens diametres, il fuit qu'en défignant par p parametre d'un diametre quelconque, par x, l'abfciffe prife fur le même diametre, à commencer de l'origine du diamètre, l'ordonnée correfpondante à cette abfciffe, on aura toujours yy=px pour l'équation qui renferme les propriétés de la parabole, foit par rapport aux diametres, foit par rapport à l'axe. Si l'on fuppofe que l'abfciffe foit prise fur l'axe, & qu'elle foit égale au quart du parametre, cette équation deviendra yypp, d'où l'on tire y=p, & en doublant 2y=p; ce qui montre que la double ordonnée qui paffe par le foyer eft égale au parametre ; ce qui eft encore vrai par rapport à un diametre quelconque, comme on peut aifément le reconnoître, fi l'on conçoit bien ce que nous avons expliqué (art. 622). PROPOSITION VIII. THEOREM E. 625. Si l'on coupe un cône par un plan parallele à un de fes Figure 155. côtés, la fection fera une parabole. Si l'on a coupé le cône ABC par un plan parallèle à un de Les côtés BC, je dis que la fection qui fera, par exemple' DEI, aura formé sur la surface du cône une courbe DHEKI qui fera une parabole. Suppofons encore que le cône a été coupé par un plan L M parallele à sa base, la section fera un cercle, dont les lignes FK & FH feront des perpendiculaires au diametre LM, & en même-tems des ordonnées de la courbe, parce que l'on fuppofe que le plan coupant EDI eft perpendiculaire au plan du triangle ABC, que l'on appelle le triangle par l'axe. Cela pofé, prenez fur le côté BC la partie BO égale à FM, & du point O, menez à F M la parallele ON, qui fera le parametre de la parabole; car nous démontrerons que le rectangle compris fous NO, & l'abfciffe EF, eft égal au quarré de l'ordonnée F K; après avoir nommé les lignes BO ou FM,a; NO,p; EF, x, & FK, y. PP Figure 156. 'Figure 157. DEMONSTRATION. Les triangles BNO, EFL ayant les côtés paralleles chacun à chacun, feront femblables, & donneront BO (a):ON(p) :: EF(x) : FL (2), d'où l'on tire BOX FL, ou FM × FL ONEF, & analytiquement px= apx; mais par la pro(arth (11) priété du cercle F Mx FL- FK: donc on aura px=yy. C. Q. F. D. COROLLAIRE. a 626. Si le triangle par l'axe eft équilatéral, la ligne FM comprise entre l'axe de la parabole & le côté BC du cône, fera égale au parametre de la parabole; car il eft évident que l'abfciffe L F fera dans ce cas égale à l'abfciffe E F. 627. Décrire une parabole, le parametre étant donné, pa perpen Pour décrire une parabole, dont la ligne AB foit le rametre, prenez dans une ligne telle que EK, les parties CE & CF, chacune égale au quart du parametre AB; enfuite tirez fur la ligne EK un nombre indéterminé de diculaires telles que GH, & faites les lignes FG, FH chacune égale à la ligne EI, ou, ce qui eft la même chofe, du point F comme centre avec le rayon EI, décrivez un arc de cercle qui coupe la ligne GH aux points déterminés H & G. La courbe qui paffera par ces points fera une parabole. La démonftration eft la même que celle de la premiere proposition. PROPOSITION X. PROBLEM E. 628. Trouver l'axe d'une parabole donnée. Pour trouver l'axe d'une parabole donnée CLI, on n'a qu'à tirer par tels points que l'on voudra de la parabole deux lignes A B & CD paralleles entr'elles, divifer chacune de ces lignes en deux également aux points E, F, & tirer points la ligne GFH qui fera un diametre, puifqu'elle di vise par ces deux lignes paralleles en deux également; 'enfuite du point C tirer la ligne CI perpendiculaire fur GH, divifer cette ligne en deux également au point K; & fi à ce point vous élevez la perpendiculaire KL, elle fera l'axe de la parabole. DEMONSTRATION. Les lignes A B & C D étant des ordonnées au diametre GH, la ligne CI perpendiculaire à ce diametre, fera auffi perpendiculaire à l'axe, puifque l'axe eft parallele au diametre, & cette même ligne fera une double ordonnée à l'axe: donc la ligne KL qui paffe par fon milieu eft l'axe demandé, puisque l'axe divife fes doubles ordonnées en deux également. PROPOSITION XI. PROBLEM E. 629. Trouver le parametre d'une parabole donnée. Pour trouver le parametre d'une parabole donnée, il ne faut que chercher à une abfciffe quelconque LM, & à l'ordonnée correspondante M N, une troisieme proportionnelle ( art. 602 ) qui fera, par exemple OP, & cette ligne OP fera le parametre que l'on demande, puifque le rectangle compris fous LM & OP fera égal au quarré de l'ordonnée M N. (art. 604). PROPOSITION XII. PROBLEM E. Figure 157 630. Trouver le foyer d'une parabole dont on connoît le para- Figure 157, metre. Pour trouver le foyer d'une parabole, il faut prendre dans l'axe LK une partie LQ, égale au quart du parametre OP, & le point Q fera le foyer qu'on demande; ce qui est bien évident, puifque par la génération de la parabole, le parametre eft quadruple de la distance du foyer Q au fommet L de la parabole (art. 620). |