DÉMONSTRATION.

Ayant circonfcrit un cercle autour de ce triangle, on voit que l'angle A ayant pour mefure la moitié de l'arc BDC, la ligne BC fera la corde d'un arc double de celui qui mesure l'angle A: par conféquent la moitié de la ligne BC fera le finus de l'angle A ; & par la même raifon le finus de l'angle B fera la moitié de la ligne AC, comme le finus de l'angle C ¿est à la moitié du côté AB; ainfi l'on aura: BC::C: AC,

AC

AB

BC

2

ou bien C: AC:: AB. C. Q. F. D,

PROPOSITION VIL

THEOREM E.

2

720. Dans un triangle obuus-angle, le finus de l'angle obtus Figure 184. eft le même que celui de fon fupplément.

Ayant abaiffé la perpendiculaire CD fur la bafe prolongée BD, & décrit les arcs F E & HG avec une même ouverture de compas AF & BH, l'on abaiffera les perpendiculaires FI & H L. Cela pofé, comme A F eft égal à BH, l'un & l'autre fera nommé à; AC,b; CD, c; FI,d; HL, e; CB, f; & nous ferons voir que FI(d): CB (f) :: HL(e): AC(b).

a;

DEMONSTRATION.

Les triangles CAD & FAI étant femblables, l'on aura CD (c): CA (b):: FI(d): AF(a). Et comme les triangles CBD&HBL font auffi femblables, l'on aura encore CD (c): HL(e): CB (f): HB (a), d'où l'on tire ces deux équations ac=bd, & ac=ef, dont les premiers membres étant égaux, l'on aura par conféquent bd=ef, d'où l'on tire FI(d) CB (f)HL(e): AC(b), qui fait voir que le finus HL du fupplément de l'angle ABC a même raison au côté AC, que le finus FI au côté BC; & que par conféquent le finus d'un angle obtus eft toujours celui de fon fupplément. C. Q. F.D.

Ces deux théorêmes nous fourniffent le moyen de connoître les angles & les côtés de la plûpart des triangles qui ne font pas rectangles, comme on le va voir dans les problêmes fuivans.

Figure 182.

PROPOSITION VIII.

PROBLEM E.

721. Dans un triangle ABC, dont on connoit deux angles & un côté ; on demande de trouver les deux autres côtés.

Le côté BC étant fuppofé de 15 toises, l'angle A de 40 degrés, & l'angle B de 60, l'on connoîtra le troifieme angle, en fouftrayant de la valeur de deux droits, c'est-à-dire de 180 degrés, la fomme des angles A & B, & l'on trouvera 80 degrés pour l'angle C. Cela pofé, pour connoître le côté AC, je cherche dans les Tables le finus de l'angle A, c'est-à-dire le finus de 40 degrés, qui fera celui de l'angle ppofé au côté que je connois, & je trouve qu'il eft 642 & cherchant auffi celui de l'angle B oppofé au côté que je cherche, je trouve qu'il eft de 86603: préfentement je dis : Si 6427 qui eft le finus de l'angle A, donne 15 toifes pour le côté BC, que donnera 86603, qui eft le finus de l'angle B, pour le côté AC, que l'on trouvera de 20 toifes & quelque chofe : pour trouver la valeur du côté AB, il faut chercher le finus de l'angle C, qui eft de 98480, & dire encore: Si le finus de l'angle A, qui eft 64278, donne 15 toifes pour le côté BC, que donnera le finus de l'angle C, qui eft 98480 pour le côté AB, que l'on trouvera de 23 toifes & quelque chofe. ÁB,

LEMME.

722. Si l'on a deux grandeurs x & y dont la fomme eft a, & la différence d, la plus grande eft égale à la moitié de la fomme, plus la moitié de la différence, & la plus petite eft égale à la moitié de la fomme, moins la moitié de la différence.

Suppofant que x foit la plus grande, & y la plus petite, il faut démontrer que x = a+d & que y = "==",

2

DEMONSTRATION.

Puifque la fomme des deux grandeurs eft a, on aura x+y a, & puifque leur différence eft d, on aura x — y=d. De la premiere équation, on tire y a-x; donc en mettant cette valeur de y dans la feconde équation, on aura x — a +x=d, ou 2x=a+d: donc x= + Si l'on Si l'on met cette

valeur

2

valeur de x dans la premiere équation, on aura +d+y=a ou a +d+2y=2a: donc 2y=2a—a—d—a—d, & y= C. Q. F. D.

a-d

2

PROPOSITION IX.
PROBLEM E.

723. Dans un triangle ABC, dont on connoît deux côtés AC Figure 183. & BC avec un angle A, oppofe à l'un des côtés connus, trouver les deux autres angles.

Pour trouver d'abord l'angle B, fuppofant que le côté AC foit de 26 toifes, le côté BC de 20, & l'angle A de 50 degrés, il faut cher le finus de cet angle, qui eft de 76604, & dire: Si le coté B C de 20 toifes donne 76604 pour finus de l'angle A, que donnera le côté AC de 26 toifes pour le finus de l'angle B, que l'on trouvera de 99585; & cherchant dans la colonne des finus le nombre qui approche le plus de celui-ci, l'on verra qu'il correspond à 84 degrés 47 minutes, qui est la valeur de l'angle B.

Comme l'on connoît les angles A & B, l'on n'aura qu'à fouftraire la fomme de 180, le refte fera la différence 45 degrés 15 minutes pour l'angle C.

&

724. Mais fi l'angle donné étoit plus ouvert qu'un droit, Figure 185. comme dans le triangle ABC, où l'angle B eft de 120 degrés, le côté A C de 18 toifes, & le côté BC de 12, il faudra, pour connoître l'angle A, chercher le finus du fupplément de l'angle obtus, c'est-à-dire le finus de 60 degrés, qui eft 86602, dire: Si le côté AC de 18 toifes donne 86602 pour le finus du fupplément de l'angle obtus, que donnera le côté BC de 12 toifes pour le finus de l'angle A, que l'on trouvera de 57734, qui correspond à 35 degrés 16 minutes?

PROPOSITION X.

THEOREM E.

725. Dans tous triangles, comme ABC, dont on connoît deux Figure 186. côtés BA & BC avec l'angle compris ABC, la fomme des deux côtés connus eft à leur différence, comme la tangente de la moitié de la fomme des deux angles inconnus BAC, & BCA eft la tangente de la moitié de leur différence,

DEMONSTRATION.

an

Si du point angulaire B l'on décrit un cercle, dont le rayon foit le côté BC, & que l'on prolonge le côté A B jusqu'à la circonférence en D & E, la ligne A D sera la somme des deux côtés connus, puifque BD eft égal à BC, & la ligne AE fera la différence de ces deux côtés, puifque BA eft plus petit que BD de toute la ligne A E. Cela pofé, comme l'angle D BC eft extérieur au triangle ABC, il fera égal aux deux i ntérieurs BAC & BCA: ainfi il vaudra la fomme des deux gles inconnus; & fi l'on tire la ligne EC, l'angle DEC qui eft à la circonférence, fera moitié de celui du centre DBC: ainsi il vaudra la moitié de la fomme des deux angles in onnus; & fi l'on tire la ligne DC, qui fe trouve perpendiculaire fur EC, à caufe que l'angle ECD'eft renfermé dans un demicercle, cette ligne fera la tangente de l'angle DEC, c'est-àdire de la moitié de la fomme des deux angles inconnus. Préfentement confidérez que le triangle EBC eft ifofcele que les angles BEC BCE de la bafe font égaux; par conféquent l'angle BEC fera plus grand que l'angle BCA de tout l'angle FCE; & comme l'angle extérieur B A C du triangle BAC eft plus grand que l'angle BEC de tout l'angle ACE, il s'enfuit donc que l'angle BAC eft plus grand que BCA de deux fois l'angle ACE; ce qui fait voir que l'angle ACE cft la moitié de la différence des deux angles inconnus BAC & BCA. Or fi la ligne E F eft perpendiculaire fur EC, elle fera

tangente de la moitié de la différence des deux angles inconnus, étant tangente de l'angle FCE; mais les lignes DC & FE font paralleles, puifqu'elles font perpendiculaires fur EC; par conféquent l'angle FEA fera égal à fon alterne EDC. Et comme les angles F AE & DAC font auffi égaux, il s'enfuit que les triangles AFE & ADC font femblables d'où l'on tire AD: AE:: DC: FE, qui fait voir que la fomme des deux côtés AD eft à leur différence A E, comme la ligne DC, tangente de la moitié de la fomme des deux angles eft à la ligne FE tangente de la moitié de leur difféC. Q. F. D.

connus,

rence.

&

PROPOSITION XI.
PROBLEM E.

726. Dans un triangle. A BC, dont on connoît deux côtés AC Figure 187. & BC avec l'angle compris C, trouver les angles A & B.

Comme ce Problême eft une application du théorême précédent, il faut, pour le réfoudre, ajouter les deux côtés CB & CA ensemble, c'est-à-dire 25, & 20 pour avoir la fomme des deux côtés connus, & fouftraire le plus petit côté du grand pour en avoir la différence, qui fera 5 ; & comme l'angle C eft fuppofé de 40 degrés, l'on cherchera fa différence avec deux droits, que l'on trouvera de 140, dont la moitié 70 fera la moitié de la fomme des deux angles inconnus A & B. Or cherchant la tangente de cet angle, qui eft de cet angle, qui eft 274747, l'on dira: Si 45, fomme des deux côtés connus, donne 5 pour leur différence, que donnera 274747, tangente de la moitié de la fomme des deux angles inconnus pour la tangente de la moitié de la différence des deux angles inconnus, que l'on trouvera

30527.

Préfentement fi l'on cherche dans la colonne des tangentes le nombre le plus approchant de celui-ci, l'on verra qu'il correspond à 16 degrés & 59 minutes: & comme cette quantité n'est que la moitié de la différence, il faut la doubler pour avoir la différence entiere, qui fera 33 degrés 58 minutes qu'il faut fouftraire de la fomme des deux angles inconnus, c'est-à-dire de 140 degrés, & l'on trouvera pour la différence 106 degrés 2 minutes, dont on n'a plus qu'à prendre la moitié pour avoir la valeur de l'angle oppofé au plus petit côté, c'està-dire de l'angle B, qui fera de 53 degrés une minute: car par le lemme de l'art. 722, le plus petit angle doit être égal à la moitié de la fomme, moins la moitié de la différence, & c'eft ce que l'on trouve en ôtant la différence de la fomme, & prenant la moitié du refte.

Pour avoir l'angle A, on n'a qu'à ajouter la différence 33 degrés 58 minutes à la valeur de l'angle B, & l'on trouvera qu'il eft de 86 degrés 59 minutes.

Si l'on veut connoître le côté A B, il fera facile de le trouver par la propofition.

itieme