la bafe, il faut partager en deux également l'un des autres de Pour le prouver, faites attention que les lignes BC,BE, BF étant proportionnelles, il y aura même raifon du quarré fait fur la ligne BC au quarré fait fur la ligne BE, que la premiere ligne BC à la derniere BF (art. 497). Or comme les triangles font dans la même raison que les quarrés de leurs côtés homologues, le triangle BAC fera double du triangle BDE, puifque le quarré du côté BC eft double du quarré du côté BE, à caufe que la ligne BC eft double de la ligne BF. Si l'on vouloit divifer un triangle en trois parties égales par des lignes tirées paralleles à la bafe, il faudroit chercher d'abord une moyenne proportionnelle entre l'un des côtés du triangle, & les deux tiers du même côté, & ayant déterminé la longueur de cette moyenne fur le côté qu'on aura divisé, l'on tirera une parallele de l'extrêmité de cette ligne à la base: on aura un triangle intérieur, qui fera les deux tiers de celui qu'on veut partager en trois : & fi l'on divife le rectangle qui contient les deux tiers du grand, en deux également, comme on vient de le faire dans la propofition précédente, tout le triangle fe trouvera divifé en trois parties égales. PROPOSITION VII PROBLEM E. 878. Divifer un Trapézoïde en deux parties égales par une Figure 302. ligne parallele à la base. Pour divifer le trapézoïde ABCD par une ligne parallele à la bafe, il faut prolonger les deux côtés AB & DC pour qu'ils fe rencontrent au point G, puis élever fur l'extrêmité G la perpendiculaire GH égale à la ligne GB; tirer la ligne HA, & décrire fur cette ligne un demi-cercle, dont il faudra divifer la circonférence en deux également au point I; & ayant tiré la ligne IH, on fera GE égal à IH: & fi par le point E l'on mene la parallele E F à la bafe AD, je dis qu'elle divifera le trapézoïde en deux parties égales. Mmm Figure 303. Pour le prouver, je confidere que la ligne H A eft le côté du quarré, qui vaut la fomme des quarrés BG & GA; & que la ligne IH eft le côté d'un quarré qui vaut la moitié du quarré HA: par conféquent le quarré IH ou GE eft moyenne arithmétique entre les quarrés GA & GB. Et comme les triangles femblables font dans la même raison que les quarrés de leurs côtés homologues, il s'enfuit que les quarrés des côtés GB, GE, GA étant en progreffion arithmétique, les triangles GBC, GEF, GAD font en proportion arithmétique, par conféquent fe furpaffent également; & comme les grandeurs dont ils font furpaffés, ne font autre chose que le trapézoïde EC, & AF, je conclus que ces trapézoïdes sont égaux, & que par conféquent le problême eft réfolu. PROPOSITION VIII. PROBLEM E. 879. Divifer un trapeze en deux également par une ligne parallele à l'un de fes côtés. au Pour divifer le trapeze ABCD par une ligne parallele côté AB, il faut prolonger les côtés BC & AD, tant qu'ils fe rencontrent au point &; puis réduire le trapeze en triangle pour avoir le point F: après quoi on divisera la base AF du triangle ABF en deux également au point H; on cherchera une moyenne proportionnelle entre AG & HG, qui fera, par exemple, IG; & fi du point I l'on mene la ligne IK parallele à AB, elle divifera le trapeze en deux parties égales ABKI & IKCD. Pour le prouver, remarquez que les triangles ABG & IKG font femblables, & qu'étant dans la même raison que les quarrés de leurs côtés homologues, ils feront comme les lignes AG & HG (art. 497). Or comme les triangles A BG & HBG ont la même hauteur, ils feront dans la même raifon que leurs bafes, & auront par conféquent même raison que les lignes A G&HG; d'où il s'enfuit que le triangle IKG eft égal au triangle HBG. Cela pofé, fi l'on retranche de part & d'autre la figure HOKG qui eft commune à ces deux triangles, il restera le triangle OIH égal au triangle OBK: mais comme le triangle BAH eft égal à la moitié du trapeze, il s'enfuit que la figure AIKB eft auffi égale à la moitié du tra peze, & que par conféquent la ligne IK le partage en deux également. PROPOSITION IX. PROBLEM E. 880. Divifer un trapézoïde en trois parties égales. Cette propofition eft peu confidérable, mais elle est mise ici pour fervir d'introduction aux fuivantes. Ainfi confidérant le trapézoïde AC, qu'on propofe à divifer en trois parties égales, on verra qu'il ne faut que divifer les côtés BC & AD en trois parties égales, & tirer les lignes GE & HF, qui donneront les figures égales AG, EH,FC, puifqu'elles font compofées chacune de deux triangles égaux. PROPOSITION X. PROBLEME. 881. Divifer un trapeze en deux parties égales. il Pour divifer le trapeze ABCD en deux parties égales, faut du point B tirer la ligne BH parallele à A D, & divifer les lignes BH & AD en deux parties égales aux points G & F; enfuite tirer les lignes GC & GF, qui donneront la figure CBAFG égale à la figure CGFD, qui font chacune moitié du trapeze: car par l'opération le trapézoïde AG eft égal au trapezoïde GD, & le triangle BCG eft égal au triangle GCH. Mais pour que les deux parties du trapeze fuffent plus régulieres, il feroit à propos que les lignes de divifion CG & GF ne fiffent qu'une ligne droite. Or fi l'on tire à la ligne FC la parallele GE, on n'aura qu'à tirer de E en F pour avoir le trapeze divifé en deux parties égales par la feule ligne EF comme on le peut voir par les triangles FGC & FEC, qui font renfermés entre les mêmes paralleles. PROPOSITION XI. PROBLEM E. Figure 304. Figure 305. 882. Divifer un trapeze en deux parties égales par une ligne Figure 306.. tirée d'un de fes angles. L'on demande qu'on divife le trapeze ABCD en deux parties égales par une ligne tirée de l'angle B. > Figure 307. Figure 308. Pour réfoudre ce problême, tirez les diagonales AC & BD, & divifez la premiere AC en deux parties égales au point E, & de ce point menez la ligne EF parallele à BD; & fi vous tirez une ligne de l'angle B au point F, elle divifera le trapeze en deux parties égales. Pour le démontrer, confidérez qu'ayant tiré les lignes EB & ED, elles donnent les triangles AED & ECD égaux entr'eux, auffi-bien que les triangles ABE & EBC. Cela étant, le trapeze fe trouve divifé en deux parties égales par les lignes EB & ED: & comme les triangles qui font renfermés entre les mêmes paralleles nous donnent EBO égal à OF D, il s'enfuit que la feule ligne BF divife le trapeze en deux égale ment. PROPOSITION XII. PROBLEM E. 883. Divifer un trapézoïde en deux parties égales par une ligne tirée d'un point pris fur l'un de fes côtés. Pour divifer en deux également le trapézoïde ABCD par une ligne tirée du point H, il faut commencer par réduire le trapézoïde en triangle, en tirant à la diagonale BD la parallele CF, afin d'avoir le point F pour tirer la ligne FB, qui donnera le triangle ABF égal au trapézoïde. Cela pofé, il faut divifer la bafe AF du triangle en deux également au point E, & tirer la ligne BE, pour avoir le triangle ABE, qui fera la moitié du trapézoïde. Préfentement il faut tirer la ligne BH, & lui mener du point E la parallele EG; & fi on tire la ligne HG, elle divifera le trapézoïde en deux également. Pour le démontrer, faites attention qu'à caufe des paralleles, les triangles OHE & OBG font égaux, & que par conféquent la figure ABGH eft égale à la moitié du trapézoïde, puifqu'elle est égale au triangle ABE. PROPOSITION XIII. PROBLEME. 884. Divifer un pentagone en trois parties égales par des lignes tirées d'un de fes angles. Pour divifer en trois parties égales le pentagone ABCDE par les lignes tirées de l'angle C, il faut commencer par ré duire le pentagone en triangle; & cela, en tirant aux lignes CA & CE les paralleles BF & DG, & en menant des lignes du point C au point F, & du même point C au point G, qui donneront le triangle FCG égal au pentagone, comme on le peut connoître facilement. Après cela, fi l'on divise la base FG en trois parties égales aux points H & I, on n'aura plus qu'à tirer les lignes CH & CI pour avoir le triangle HCI, qui fera le tiers du triangle FCG, par conféquent du pentagone, & il fe trouvera que les parties H ABC & ICDE feront égales entr'elles, & feront par conféquent chacune le tiers du pentagone. Application de la Géométrie à l'ufage du Compas de proportion. De tous les inftrumens de Mathématique, il n'y en a point dont l'usage soit fi univerfel que celui qu'on nomme compas de proportion; car il facilite la pratique de toute la théorie de la Géométrie : par exemple, la ligne des parties égales fert à divifer une ligne, felon une raifon donnée, & à trouver des troifiemes & quatriemes proportionnelles : la ligne des cordes tient lieu de rapporteur, puifque par fon moyen moyen l'on peut connoître la valeur des angles, & en déterminer de quelque quantité de degrés qu'on voudra: la ligne des polygones fert à divifer un cercle en une quantité de parties égales, pour y infcrire des polygones: par le moyen de la ligne des plans, l'on trouve les côtés des figures femblables qu'on veut augmenter ou diminuer felon les raifons données : enfin la ligne des folides, qui peut paffer pour la plus confidérable du compas de proportion, fert à trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, à diminuer & augmenter les folides femblables, felon les raifons que l'on voudra. Ce font toutes ces propriétés que nous allons enfeigner ici, en commençant par les lignes de parties égales. PROPOSITION XIV. PROBLEME. 885. Divifer une ligne droite en tant de parties égales qu'on Figure 309. voudra. L'on trouvera marqué d'un côté sur chaque jambe du compas |