Figure 310. de proportion une ligne que l'on verra nommée parties égales parce qu'elles fervent effectivement à divifer les lignes droites en parties égales: & pour faire voir comment on s'en fert, nous fuppoferons qu'on veut divifer la ligne HI en neuf parties, pour faire, par exemple, l'échelle d'un plan : pour cela, il faut avec le compas ordinaire, prendre la longueur de la ligne HI, & ouvrir le compas de proportion, de maniere que les pointes du compas ordinaire puiffent être pofées dans les points de la ligne des parties égales, où l'on verra marqué 90, qui fera, par exemple, les points D & E. Préfentement laiffant le compas de proportion ouvert, il faut, avec le compas ordinaire, prendre l'intervalle des points où l'on verra le nombre 10, qui fera, par exemple, l'intervalle FG. Or fi vous portez préfentement le compas ainfi ouvert fur la ligne HI, vous trouverez que son ouverture sera la neuvieme partie de cette même ligne, Pour le démontrer, confidérez que les triangles AFG & ADE sont semblables, & que par conféquent il y aura même raison de A Fà AD, que de F Gà DE. Or comme AF est la neuvieme partie de AD, F G fera la neuvieme partie de D E. PROPOSITION XV. PROBLEME. 886. Trouver une troifieme proportionnelle à deux lignes données. Pour trouver une troifieme proportionnelle à deux lignes données F & G, il faut prendre la premiere F avec le compas ordinaire, & la porter fur la ligne des parties égales, comme fi elle occupoit, par exemple, la distance depuis A jufqu'en D; enfuite prendre la feconde G, & la porter depuis A jusqu'en B. Il faut après cela ouvrir le compas de proportion d'une gran deur telle que la distance DE( des deux nombres égaux qui correfpondent aux points D & E) foit égale à la ligne G. Préfentement fi l'on prend la distance BC, c'est-à-dire l'intervalle du chiffre, qui eft au point B à celui qui lui correfpond au point C, l'on aura la troifieme proportionnelle que l'on cherche, qui fera, par exemple, H. Pour le prouver, confidérez que les triangles ABC & E AD font femblables, & que la ligne AB étant égale à la ligne DE, l'on aura AD; DE::AB: BC; par conféquent F. G. H. PROPOSITION XVI. 887. Trouver une quatrieme proportionnelle à trois lignes données. Figure 311. Pour trouver une quatrieme proportionnelle aux trois lignes données A, B, C, il faut prendre la ligne A, & la porter avec le compas ordinare fur la ligne des parties égales, enforte qu'elle occupe l'intervalle EF; puis porter la feconde B depuis le point F jufqu'au point correspondant G: enfin il faut prendre la troifieme C, enforte qu'elle occupe l'efpace EH, & l'intervalle du point H à celui qui lui correfpond en I, fera la quatrieme proportionnelle, comme eft, par exemple, la ligne D. Pour le prouver, remarquez que les triangles EFG & EHI font femblables,& par conféquent l'on aura EF: FG :: EH : HI, ou bien A: B:: C:D. USAGE DE LA LIGNE DES POLYGONES. PROPOSITION XVI. PROBLEM E. 888. Infcrire un polygone dans un cercle. Par le moyen de la ligne des polygones, qui eft tracée fur le compas de proportion, on peut infcrire des polygones dans un cercle depuis celui de trois côtés jufqu'à celui de douze, qui font ceux qu'on met le plus en ufage. Pour faire voir comment on s'en fert, nous fuppoferons qu'on veuille infcrire un octogone dans le cercle H : pour cela il faut prendre avec le compas ordinaire la grandeur du rayon HI de ce cercle, & ouvrir le compas de proportion de maniere que les points du compas ordinaire, ouvert, comme nous venons de dire, puiffent être pofés dans les points B & C de 6 en 6, marqués fur la ligne des polygones. Après cela l'on prendra du point F au point G, où correfpondent les nombres 8, & cet intervalle fera le côté de l'octogone, qu'on portera huit fois fur la circonférence du cercle H, pour avoir les points qui ferviront à décrire l'octogone. Si au lieu de l'octogone l'on vouloit prendre dans le même cercle un décagone, il ne faudra, que prendre l'intervalle de Figure 312 & 313. 10 en 10, ainfi des autres polygones, après avoir pris avant la distance de B en C, en pofant fur ces distances le rayon du cercle, que vous voulez réduire en polygonę. PROPOSITION XVIII. PROBLEM E. 889. Décrire un polygone régulier furane ligne donnée. Nous fervant de la même figure, l'on pourra, à l'aide du compas de proportion, décrire tel polygone qu'on voudra. Or fi l'on veut faire fur la ligne KL un octogone, il faudra prendre cette ligne avec le compas ordinaire, & la porter fur le compas de proportion; de façon que les points du compas ordinaire tombent dans les points 8 & 8. Après cela fi l'on prend l'intervalle de B en C, c'est-à-dire de 6 en 6, & que des extrêmités K & L l'on faffe une fection H avec le compas ainfi ouvert, on n'aura qu'à décrire du point H un cercle, dont le rayon foit HK ou HL, & l'on pourra trouver tous les points qui ferviront à décrire l'octogone, en portant huit fois la ligne K L fur la circonférence du cercle. USAGE DE LA LIGNE DES CORDES. PROPOSITION XIX. Figure 312, 890. Prendre fur la circonférence d'un cercle un angle d'autant de degrés qu'on voudra. & 314. Si l'on vouloit prendre fur la circonférence du cercle H un arc de 70 degrés, il faudra avec le compas ordinaire, porter fur la ligne des cordes aux endroits marqués 60 la grandeur ou le rayon HI: ainfi fuppofant que l'angle ABC eft formé par les lignes des cordes du compas de proportion, de maniere que l'on ait ouvert la grandeur DE égale au rayon HI, l'on prendra l'intervalle de F en G, que je fuppofe être de 70 en 70, & la ligne F G fera la corde de 70 degrés, qu'on n'aura qu'à porter fur la circonférence du cercle, pour avoir l'arc MIqu'on demande. PROPOSITION XX. PROPOSITION XX. 891. Un angle étant donné fur le papier, en trouver la valeur par le moyen de la ligne des cordes. Pour connoître la valeur d'un angle ABC, il faut, du point B, comme centre, décrire l'arc AC d'une ouverture de compas indéterminée; enfuite prendre le rayon BC, & ouvrir le fig: 340 compas de proportion, de maniere que l'intervalle de 60 en 60, marqué fur la ligne des cordes, foit égal au rayon. Préfentement fi on prend avec le prend avec le compas la corde AC, & qu'on la porte fur la ligne des cordes, de façon qu'il convienne dans deux points également éloignés du centre, les nombres qui correfpondront à ces points, donneront la valeur de l'angle: ainfi fuppofant que ce foit de 50 en 50, l'on connoîtra que l'angle ABC eft de 50 degrés. PROPOSITION XXI. PROBLEM E. 892. Connoiffant la quantité de degrés d'un arc de cercle, trouver Figure 314 fon rayon. Si l'on a un arc de cercle B A de 50 degrés, & qu'on veuille connoître le rayon du cercle de cet arc, du cercle de cet arc, il faudra prendre avec le compas la corde BA, & la porter fur la ligne des cordes pour ouvrir le compas de proportion de 50 en 50: par exemple, fi les points D & E correfpondent au nombre 50, il faut faire l'intervalle DE égal à la corde BA; & fi après cela l'on prend l'intervalle F G de 60 en 60, elle fera le rayon que l'on demande, c'est-à-dire que la ligne F G fera égale au demi-diametre CB. PROPOSITION XXII. PROBLEM E. &315. 893. Ouvrir le compas de proportion de maniere que les lignes Figure 314. des cordes faffent tel angle que l'on voudra, fuppofant que les lignes AB & CB foient celles des cordes; on demande de faire avec elles un angle de 70 degrés. Nnn Figure 314. Figure 316 & 321. Il faut prendre avec le compas ordinaire l'intervalle qu'il y a du centre B au point F ou G, que je fuppofe être de 70 degrés; puis porter les pointes du compas ainfi ouvert dans les points de 60 en 60: par exemple, fi les points D & E font ceux de 60 en 60, il faut faire la distance DE égale à l'intervalle BF, & les lignes des cordes formeront l'angle ABC de 70 degrés. PROPOSITION XXIII. PROBLEME. 894. Le compas de proportion étant ouvert d'une grandeur quelconque, connoire la valeur de l'angle formé par les lignes des cordes. Si l'on veut fçavoir la valeur de l'angle ABC, formé par les lignes des cordes, l'on n'aura qu'à prendre avec le compas ordinaire l'intervalle de 60 en 60, puis la porter fur l'une des cordes, en commençant du centre, l'on trouvera la quantité de degrés que contient l'angle: ainfi les points D & E étant fuppofés ceux de 60, l'on prendra la ligne D E pour la porter fur BF; & fi l'on voit que le point F correfpond à un nombre, par exemple, de 70, l'on verra par-là que l'angle ABC eft de 70 degrés. REMARQUE. Comme l'on applique quelquefois des pinnules aux extrêmités des cordes du compas de proportion, pour prendre des angles fur le terrein, on peut en former de telle ouverture que l'on voudra, puifque par ces deux propofitions l'on peut faire un angle quelconque avec les lignes des cordes, & qu'on peut d'ailleurs connoître la valeur des angles qu'elles peuvent former. USAGE DE LA LIGNE DES PLANS. PROPOSITION XXIV. PROBLEM E. 895. Faire un quarré qui foit à un autre felon une raison donnée. Si l'on veut faire un quarré qui ait même raison à un autre que 5 à 2, il faut prendre le côté AB du quarré donné, & |